淺談中學數學教學中的類比法

潘寶民

人們在認識客觀世界的過程中，總是通過觀察與比較、分析與綜合，歸納與演繹等邏輯方法，去探求自然與社會的規律性。教學過程是一個認識過程，從而應當是教師引導學生去探求并獲得知識的過程，在這個過程中必須逐步使學生掌握獲取知識的邏輯方法。本文在筆者多年教學實踐的基礎上，試圖淺論類比教學法在中學數學教學中的運用。

一、類比法教學的意義與作用

辯證唯物主義告訴我們，客觀現象盡管千差萬別，但存在著廣泛而深刻的內在聯系，揭示這種聯系的一種方法是比較法。比較分為對比與類比兩種。把我們研究對象進行比較，找出它們的異同點，特別是不同點，這就是對比，而類比雖然也是比較，但比較的重點是相同點。這里必須強調指出，某些研究對象初看起來似乎差異較大，毫不相關，但從某一側面，某一結構，某一屬性，某一關系來看，卻具有極大的相似性或共同點。正是由于這個原因，類比法在中學乃至大學教學及科學研究中得到了廣泛的應用，成為中學數學教學中的重要手段之一。

從心理學的角度來看，中學生正處于體力與智力的發展階段。在這個階段，他們一方面對世界感到陌生好奇；另一方面，他們已初步接觸了一些自然與社會現象，儲備了小學（或初中）的知識，這就為在中學運用類比教學法打下了初步基礎。

從教學法的角度來看，類比教學法符合辯證唯物主義的認識論，它具有很多優點。

簡化教學在數學教學中，常要引入新概念，作出新判斷，給出新關系。這里，下面的兩種教學方法均不可取的：一是照本宣科，就事論事，它使學生感到突然，認為數學神秘莫測；一種是旁征博引，重復累贅，它使學生不得要領。正確的方法應當是盡可能找到學生已熟悉的相類似的概念，判斷或關系，并與之進行類比。這樣作既有啟發意義，又可達到簡化教學的目的。

明確思路為了解決數學問題B，我們聯想到一個與問題B有類似屬性的問題A，于是試圖用解決問題A的類似方法去解決問題B，問題B終于獲得解決。這是用類比法進行數學教學的一種常用模式，這種模式，按照在比較中認識事物的原則，容易被學生接受與掌握。

它具有明確思路的優點。

加深理解數學的門類很多，即使在中學，也可分為幾何，代數，三角等多個部分，它們當然各有自己的特點，但在概念的形成，理論的推導，結論的形成等諸多方面，都有極大的相似性，在這個意義上，它們又緊密相連，故名之日“數學”（數學并非只是數的學問）。一旦我們從比較中去認識它們，就能揭示它們的聯系與相似性，從而加深對它們的理解。

增強記憶如上所述，類比法是把一些具有相似結構，相似屬性與相似關系的事物拿來進行比較的方法，故能加深理解，從而增加記憶，人們常說的“似曾相識”，正形象地說明了人們由一種事物引發的對另一相似事物的聯想。

總之，類比教學法是中學數學教學中常采用的一種具有較好教學效果的重要教學手段。運用好這種教法，不僅可提高教師的教學質量，而且可以提高學生的認識能力，使他們終生受益。

二、創設教學情景，運用類比方法

學生對數學知識的認識過程，是一個由未知到已知的探索學習過程，在這個過程中，就需要教師引導學生對新舊知識間的共同特征進行分析和類比，從“已知”中發現“未知”，達到由未知到已知的目的。

創設問題情景，誘發類比聯想 。聯想是人們認識事物的過程中，根據事物間的某種聯系，由一事務想到另一事務的思維過程，它在人們的認識活動中起著橋梁和紐帶的作用，在學習中，學生容易產生廣泛的聯想，如前面提到的從長方形的對角線聯想到長方體的對角線，但也存在一些與就知識的聯系不那么直接和明顯的內容，學生無法自己找到類比的對象，因此，需要教師創設問題情景，誘發學生聯想，喚起學生記憶中的相關的數學知識，把與之類比的對象找出來。

創設類比情景，展現思維過程。在教學過程中，要恰如其分的創設類比情形，展示數學的思維過程，把每一個層次和環節展現給學生，讓學生觀察和類比，參與探索發現知識的活動過程。

指導學生閱讀，學會類比方法。在教學中，教師不僅在教學上運用類比法，還要創設條件，讓學生自己去學會類比，對于關系并類的兩個數學對象，由于它們類比的內容很多，因而對后一對象的學習，教師要指導學生，結合教材，讓學生與前一對象進行類比，獨立自主獲得知識。

三、中學數學教學中常用的幾種類比法

中學數學教學中的類比法多種多樣，這里選取幾種常用的簡述如下。

概念類比在引入新概念時，與原來的已知概念進行類比。由于中學數學是小學算術的繼續與發展，存在著大量的類似概念。例如：數與式，整數與整式，分數與分式，整數的分解與整式的因式分解，等式與方程等等。又如對數概念的引入，應以逆運算的思想為指導，與加法和減法，乘法和除法等互逆運算進行類比，就容易被學生接受。

屬性類比把不同對象各自具有的相似性質進行類比。例如，把數與式的運算性質進行類比，把等式的變形與方程的同解變形進行類比，把對數函數的性質與指數函數的性質進行類比，把有理指數冪與整數指數冪的運算法則進行類比，等等。

關系類比把相似的數量關系或相似的圖形關系進行類比。例如，相等關系與不等關系，本來是本質上不同的關系，但就其“傳遞性”這一關系上都是相同的，可把這種相同點進行類比。再如，在△ABC中，若sin2A+sin2B+ sin2C—sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB，求證△ABC是正三角形，可引導學生與關系式a2+b2+c2=bc+ca+ac進行類比，從而由后一關系可得（a-b） 2+（b—c）2+（c—a）2一O，于是本題迎刃而解。

經驗歸納類比要解一個一般性數學問題，首先可考慮其特殊情形，若后一情形的解法可推廣到一般情形，則此數學問題可解決，這就是經驗歸納類比。例如，在Rt△ABC中，求證：an+bn

降維類比我們經常說，空間是三維的，平面是二維的，直線是一維的，立體幾何問題，常可與平面幾何問題類比，這就是降維類比。通常可考慮將“線、面、體”降維成“點、線、面”。例如，求圓錐體中側面積最大的內接圓柱體這類立體幾何題，可用軸截面降維為一個平面幾何題。

以上，我們強調了類比法在中學數學教學中的作用。中學數學教學方法是多方面的，類比法只是其中的一種。如果只是一味強調類比法而排斥其它方法，就會造成一種思維定勢，就會削弱對學生求異思維及逆向思維等能力的培養。所以當我們說類比法是教學的主要手段，是獲得發現的偉大源泉時，不要忘記，它只是手段與源泉之一而己。