巧用數學轉化思想提高高中生數學學習能力的實踐研究

余傳銘

【摘要】在數學教學過程中，我們常常將困難問題轉化為容易問題，陌生問題轉化為熟悉問題，這就是轉化思想。它是解決新問題、獲得新知識的重要思想，其他許多重要的數學思想，例如數形結合思想、分類討論思想、方程與函數思想、整體思想等均體現了轉化過程，因此轉化思想是數學思想的核心和精髓，是數學思想的靈魂。高中課改教材中蘊含轉化思想的知識點極多，教學過程中，如果能重視對轉化思想的滲透和應用，將大大提高學生課堂學習的有效性，減輕學生的學業負擔，讓學生逐漸將新知識、新的解題方法轉化為自己的經驗，成為數學學習的主人翁。

【關鍵詞】轉化思想 化未知為已知 化繁為簡

一、轉化思想概述

所謂轉化思想，就是在處理問題時把那些待解決的問題或難解決的問題通過某種轉化過程，歸結為一類已經解決或比較容易解決的問題，最終求得原問題的解答的一種數學思想。合理運用數學的轉化思想是解決問題的關鍵。例如解析幾何就是把幾何問題通過轉化歸結為代數問題，函數圖像是把代數問題轉化歸結為幾何圖形來解決的一種工具。數學問題的解決過程就是不斷地發現新的、陌生的問題，分析新的、陌生的問題，對其進行轉化，直至轉化、歸結為一類已經能被解決或者容易解決的問題的過程。下面來談談高中數學中比較常用的三種轉化。

二、高中數學中常用的三種轉化

1、普通語言向數學語言的轉化

審題作為解題的第一步，對一道題的解答起著至關重要的作用，而如何將一道題中的各種由普通語言所表述的條件，轉化為數學語言，則是解題過程中極其重要的一個步驟。

例1：函數 在 上是二次函數，且在 時函數取得最小值

，且有 ，求 的解析式。

分析：本題解題的關鍵在于如何合理地將題干中的普通語言轉化為數學語言。如果僅僅是很直接地將函數設為 ，那么求解 三個參數的值，將變得相當復雜。相反，仔細琢磨“且在 時函數取得最小值 ”這句話，會發現，如果將所求二次函數設為頂點式，就將大大簡化解題的難度，即設 。這樣的話，要求解該二次函數，只要求出函數中的唯一一個參數，而求解這一個參數，只要得到一個關于該參數的方程即可，即 。因此，本題解決的關鍵，就在于如何理解題干中的普通語言，將之巧妙的化為更容易求解的數學語言。

2、陌生、復雜題型向熟悉、簡單題型的轉化

高中數學學習，為了最終的高考，往往提倡題海戰術，有時候一個學生高中三年要做幾千甚至幾萬題。在茫茫題海中，真的需要一道一道的去“砍”題么？在學習解題的過程中，如何應用數學的轉化思想，把一道道陌生，復雜的，看似沒有見過的題型，轉化、分割成一些基本的，已經熟練掌握的題型，就變得相當重要。

例4：已知點P（x，y）滿足方程 ，求 的最值

分析：表面上看，本題是一道關于“ ”的最值問題，但該方程最終無法轉化為只含有一個變量“ ”的函數形式，因此無法運用最值問題來求解。

解法一：從另一個角度看，這個方程是圓的一般方程，所有滿足題意的實數對（x，y）都在該圓上。而“ ”可以視作“ ”，即圓上的任意一點（x，y）與原點（0，0）連成的直線的斜率。于是本題就轉化為了圓上任意一點與原點所構成的直線的斜率的最值問題。然后作出圖像，如左圖所示，過原點分別作出圓的兩條切線，切圓于A（ ）和B（ ）點，則這兩條切線所在的直線的斜率值，就是上述問題中的斜率的最值。然后再將圖像的問題轉化為代數問題，利用向量垂直建立方程就可以分別求出A點與B點的坐標。

解法二：將本方程配方化簡為圓的標準方程 后，可以通過換元：令 轉化為求三角函數的最值問題：求三角函數 的最值。對于這類題型，學生比較熟悉，可以利用萬能置換公式或者輔助角公式來進行求解。

小結：一道看上去并不熟悉的問題，用第一種解法，將之轉化為直線斜率問題，過定點作直線與圓相切并求切點的問題，成功的將一道看上去不熟悉的問題，分割轉化為若干個小的、基本的、熟練掌握的問題，便于學生解答；第二種解法將一個與“ ”相關的最值問題轉化為了學生熟悉的三角函數最值問題中的一種形式。可見，數學中許多問題，看上去陌生，但往往可以轉化為已經學過并熟練解答的問題。

3、數與形之間的轉化

代數向圖像的轉化，比較有代表性的，就是研究非初等方程的解的個數的問題。

例7：若 為何值時，關于 的方程： ，有兩解、一解、無解？

分析：本題若沒有給定區間，定義域為一切實數，那將變得非常簡單，事實上，有許多學生在解答該類問題時，或者沒注意到這個給定區間，或者是注意到了，但對題目所給定的區間對本題的意義沒有一定了解，所以在解題的時候，就將本題當成了定義域為一切實數的類型來解答，僅僅考慮了判別式對根的影響。

本題可以轉化成一個無參數的二次函數與可以上下移動的水平線之間的交點問題。

<解>

至此，原來的關于 的、在給定區間上的解的問題，就轉化為了一個關于 的二元二階方程組的解的問題。下一步是將該問題轉化為直觀的圖像形式。

由左圖可以看到，原來的問題已經轉化為紅色的拋物線與水平的直線的交點問題，有幾個交點既為幾個解。由左圖可以很清晰的看出，當 時，無交點；當 時，只有一個交點；當 時，有2個交點。之后只是一些相當簡單的運算。

本題原本是一個較難解決的問題，如果僅僅從代數方面去研究，利用求根公式求出根，或者利用韋達定理研究根的分布情況，都顯得十分復雜。但如果秉承著數學轉化的思想，最終轉化為圖像上2個圖像的交點個數，則顯得非常的簡單。

四、結論

高中的數學，知識點既多，向外擴展的范圍和力度也很大，各種題型層出不窮，如果不能夠理解數學的轉化思想，想通其中的奧妙，只是一味追求做題多，見多不怪，那么到最后的結果，只能是人外有人，天外有天，千奇百怪的題目永遠做不完。數學何嘗不是，掌握好轉化思想，學好基礎知識和定義，然后利用好轉化思想，用轉化思想去串聯新舊知識，學習新公式，新性質，用轉化思想把一道冗長的題目轉化成簡單明了的數學語言，用轉化思想將數形轉化，用轉化思想將一道復雜的題目最終轉化成一個方程組，一個方程，一個不等式等等。這樣，才能笑傲高中數學學習。

【參考文獻】

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