數形結合在解題中的運用

韋云校

數形結合的數學思想：包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數作為目的，比如應用函數的圖象來直觀地說明函數的性質；二是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的。數形結合思想主要解決方程的根的個數、求參數取值范圍和解決幾何問題。

一、數形結合思想在解決方程的根的個數、不等式解集的問題中的應用

例1（1）已知：函數f（x）滿足下面關系.

①f（x+1）=f（x-1）；

②當x∈[-1，1]時，f（x）=x2.

則方程f（x）=lgx解的個數是（ ）

A.5 B.7 C.9 D.10

（2）設奇函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，且f（1）=0，則不等式f（x）-f（-x）x<0的解集為（ ）

A.（-1，0）∪（1，+∞）B.（-∞，-1）∪（0，1）

C.（-∞，-1）∪（1，+∞）D.（-1，0）∪（0，1）

分析：（1）在同一坐標系中畫出y=f（x）和y=lgx的圖象，由它們交點個數判斷方程的解的個數；（2）f（x）-f（-x）=2f（x），畫出y=2f（x）的大致圖象，f（x）與x異號的區間，即為不等式的解集.

（1）由題意可知，f（x）是以2為周期，值域為[0，1]的函數.

又f（x）=lgx，則x∈（0，10]，畫出兩函數圖象，

則交點個數即為解的個數.又∵lg10=1，故當x>10時，無交點.∴由圖象可知共9個交點.

（2）∵f（x）為奇函數，

∴f（x）-f（-x）=2f（x）

畫出y=2f（x）的大致圖象.

如圖，則f（x）與x異號的區間

如圖陰影所示，

∴解集為（-1，0）∪（0，1），故選D.

評析：（1）用函數的圖象討論方程（特別是含參數的指數、對數、根式、三角等復雜方程）的解的個數是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數式看作是兩個熟悉函數的表達式（不熟悉時，需要作適當變形轉化為兩熟悉的函數），然后在同一坐標系中作出兩個函數的圖象，圖象的交點個數即為方程解的個數.

（2）解不等式問題經常聯系函數的圖象，根據不等式中量的特點，選擇適當的兩個（或多個）函數，利用兩個函數圖象的上、下位置關系轉化數量關系來解決不等式的解的問題，往往可以避免繁瑣的運算，獲得簡捷的解答.

（3）函數的單調性經常聯系函數圖象的升、降；奇偶性經常聯系函數圖象的對稱性；最值（值域）經常聯系函數圖象的最高、最低點的縱坐標.

二、 數形結合思想在求參數、代數式的取值范圍、最值問題中的應用

例二：已知a是實數，函數f（x）=2a|x|+2x-a，若方程

f（x）=0有且僅有兩個實根，則實數a的取值范圍是

__________________.

解析 易知a≠0，f（x）=0，即2a|x|+2x-a=0，

變形得|x|-12=-1ax，

分別畫出函數y1=|x|-12，y2=-1ax的圖象（如圖所示），由圖易知：

當0<-1a<1或-1<-1a<0時，y1和y2的圖象有兩個不同的交點，

∴當a<-1或a>1時，方程f（x）=0有且僅有兩個實根，

即實數a的取值范圍是（-∞，-1）∪（1，+∞）.

評析：解決方程的根的問題，通常轉化為函數的圖象的交點問題.在解決函數圖象的交點問題時，常用數形結合，以“形”助“數”，直觀簡潔.

規律方法總結

1.利用數形結合解題，只需把圖象大致形狀畫出即可，不需要精確圖象.

2.數形結合思想是解決高考數學試題的一種常用方法

與技巧，特別在解選擇題、填空題時更方便，可以提高解題速度.

3.數形結合思想常用模型：

一次、二次函數圖象；斜率公式；兩點間的距離公式（或向量的模、復數的模），點到直線的距離公式等。

【參考文獻】

[1]張立娟.巧用數形結合法解題[J].今日科苑.2007（12）