用微元思想推導一維波動方程

鄭承民

【摘要】本文應用微元分析方法，逐步、詳細地推導出弦振動的波動方程，為教師教學、學生學習提供一種新的思維方式.

【關鍵詞】微元思想；弦振動；波動方程

【中圖分類號】O175.23 【文獻標識碼】A

1.引 言

探討弦的橫向振動是學習數學物理方程這門課程首先遇到的典型問題，也是學習偏微分方程入門時，學習者將要探討的物理問題.我們將應用微元思想分析和推導弦的一維波動方程.

首先回顧一下，在學習函數在某點連續的定義時，學習者初次對函數局部分析這一分析方法有所認識.接著又學習函數在一點的導數定義，學習者逐漸適應從對函數整體分析轉向在函數的某一點或者某一區間內的分析.后續學習定積分運算的定義，進一步學習從整體分析到局部分析、再轉向整體的方法.通過學習和理解這些數學概念，逐步建立微元思想.

在研究對象上取出很小很小的一部分，記為Δ，面對這一很小的Δ，對其進行質量分析、受力分析…… 由于Δ很小，假設在Δ上質量分布均勻，受力均勻，那么對Δ的質量就可按照常規的算法來計算，對Δ的受力分析也可如此法完成.

2.問題的描述

設有一根柔軟且有彈性的細弦，長度為l，兩端拉緊后，讓弦離開平衡位置，在垂直于弦線的恢復力作用下做微小的橫向振動，求在不同時刻不同位置弦線的運動狀態.

3.理解問題、分析問題

（1）首先理解問題的條件，在文獻[1][2]中都有相關的解釋和假定.“柔軟”是指弦可以任意地變形，但不會產生抵抗力.“橫向振動”是指在一個平面內，弦上各點的運動方向垂直于最初的平衡位置.

現在分析弦上各點處的張力.為方便分析，取弦上一小段，放大如圖1，以弦上點A為例，A也表示在點A處的截面，截面兩側間原來存在的相互作用力分別表示為T1和T2，如圖2、圖3，T1表示點A處的左段弦對截面A的張力，T2表示A的右段弦對截面A的張力.當把弦看成線時，張力T1和T2可取在點A處的切線上，方向相反.

（2）建立坐標系.假設弦最初靜止平衡狀態所在直線為x軸，用u（x，t）表示t時刻弦上點x處的橫向位移，x∈[0，l].

在弦上任意點M（x，u（x，t））處，取一小段非常短的弧線Δs，如圖4，對應弧段MQ，對應區間[x，x+Δx].Q點坐標可記為Q（x+Δx，u（x+Δx，t））.過點M作切線MP，記傾斜角為α.

當Δx→0時，弦上的點Q趨向于切線上的點P，即線段PQ→0，同時△MQN→△MPN.若弦足夠光滑時，可以把弧段MQ看作線段MP.

由定義ux=limΔx→0u（x+Δx，t）-u（x，t）Δx=ux，且ux=tanα，在△MPN中可假設MN=1，PN=ux.因而經計算可得到MP=1+u已知條件中“微小的橫向振動”是指弦的彎曲很微小，從前面分析可知此時線段QN很短，且線段PN的長也很小，即傾斜角α很微小.由于ux≈tanα，因而ux很微小.由此有sinα=ux1+u2x≈ux，且cosα=11+u2x≈1.

當MN=Δx時，則有MP=1+u2x·Δx，由前面的分析可以得出弧微元的長度.

Δs=弦MQ的長度≈1+u2x·Δx≈Δx.（1）

4.解決問題

假設弦的質量線密度為ρ（x），則弧微元MQ的質量可記為ρ（x）Δs≈ρ（x）Δx，此為弧微元Δs的質量，可叫作質量微元.質量微元所受慣性力為ρ（x）Δx·a，其中a表示加速度，a=2u（x，t）t2=utt，即

弧微元MQ所受慣性力=ρ（x）utt·Δx.（2）

如圖5，作用在點M，Q處的張力分別記為T1，T2，其方向取向源自圖1-3.點M，Q處切線與水平方向的夾角分別記為α，β.

因為∫l01+u2xdx≈∫l01+0dx=l，即弧微元MQ在左右方向沒有發生位移，這表明弦在振動過程中，在所要求的精確范圍內沒有伸長.根據牛頓第二定律F=ma，水平方向合力為0，即T1+T2=0，由此得出T1=T2，即弦上各點處張力的大小相同，不妨記為T.

因點M處的張力T1在縱向的分量為T1sinα=-Tux（x，t），且在點Q處張力T2在縱向的分量為T1sinβ=Tux（x+Δx，t），得【參考文獻】

[1]陳明文，劉宇.數學物理方程[M].北京：機械工業出版社，2013：1-3.

[2]包繼光，朱汝金.偏微分方程[M].北京：北京大學出版社，2011：15-17.