簡析三角函數模型的簡單應用

陳堂桂

【摘要】在學生們學習了三角函數圖像和性質的前提下再來學習三角函數模型的簡單應用，進一步突出函數來源于生活應用于生活的思想，讓學生體驗一些具有周期性變化規律的實際問題的數學“建模”思想，從而培養學生的創新精神和實踐能力.

【關鍵詞】三角函數模型；簡單應用

在學習三角函數圖像之后，都比較熟悉地掌握了作y=Αsin（ωx+φ）圖像的兩種方法（①用“五點法作圖”②用“變化法”作圖（先平移后伸縮或是先伸縮后平移）），三角函數最明顯的特點就是周期性，用三角函數模型解決的實際問題也必然是具有周期性變化的規律的，教師如何引導學生更好地學習并深入了解此類三角函數應用到現實世界中，用三角函數解決實際問題.

一、教師要制定相應的目標

1.基礎知識目標：①通過對三角函數模型的簡單應用的學習，使學生初步學會由圖像求解析式的方法；②根據解析式作出圖像并研究性質；③體驗實際問題抽象為三角函數模型問題的過程；④體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型.

2.能力訓練目標：讓學生體驗一些具有周期性變化規律的實際問題的數學“建模”思想，從而培養學生的建模、分析問題、數形結合、抽象概括等能力.

3.個性情感目標：讓學生切身感受數學建模的過程，體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，讓學生切身感受數學建模的過程，體驗數學在解決實際問題中的價值和作用從而激發學生的學習興趣，培養鍥而不舍的鉆研精神，培養學生勇于探索、勤于思考的精神.

二、要點的詮釋

可以牢記應用題的基本步驟可分為四步：

1.審題：解題的基礎就是審題，包括閱讀理解、翻譯、挖掘等等，通過相應的閱讀，真正理解用普通文字語言表述的實際問題的類型、思想內涵、問題的實質，初步預測所屬數學模型，有些問題中采用即時定義解釋某些概念或專業術語，要仔細閱讀，準確把握，同時，在閱讀過程中，注意挖掘一些隱含的條件.

2.建模：在細心閱讀與深入理解題意的基礎上，引進數學符號，將試題中的非數學語言統統轉化為數學語言，然后根據題意，列出數量的關系——建立三角函數模型.這時候一定要注意三角函數的定義域應符合實際問題要求，這樣便將實際問題轉化成純數學問題.

3.解模：運用三角函數的有關公式進行推理、運算，使問題得到解決.

4.還原評價：應用問題不是單純的數學問題，既要符合數學科學，又要符合實際背景，因此，對于解出的結果要代入原問題中進行檢驗、評判.

三、典例精析

（題型一）日常生活中的應用

例 一半徑為3 m的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面2 m，已知水輪每分鐘轉動4圈，如果當水輪上P點從水中浮現時開始計算時間.

（1）求P點相對水面的高度z（m）與時間（t）之間的函數關系式；

（2）P點第一次到達最高點大約要多長時間？

解 （1）不妨設水輪沿逆時針方向旋轉，如圖，建立平面直角坐標系，設角φ（-π2<φ<0）是以Οx為始邊，ΟΡ為終邊的角，易知ΟΡ在t秒內所轉過的角為（4×2π60）t=2π15t，故角2π15t+φ是以Οx為始邊，ΟΡ為終邊的角，故Ρ點縱坐標為3sin2π15t+φ，則z=3sin2π15t+φ+2，又當t=0時，z=0，可得sinφ=-23，又-π2<φ<0，故φ≈-0.73.故所求函數關系式為z=3sin2π15t-0.73+2.

（2）令z=3sin2π15t-0.73+2=5，得

sin2π15t-0.73=1，

取2π15t-0.73=π2，解得t=5.5.

故Ρ點第一次到達最高點大約需要5.5秒.

（題型二）三角函數在物理上的應用

例 一根細線的一端固定，另一端懸掛一個小球，小球來回擺動時，離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數關系是：s=6sin2πt+π6.

回答以下問題：

（1）小球開始擺動（即t=0），離開平衡位置多少厘米？

（2）小球擺動時，離開平衡位置的最大距離是多少厘米？

（3）小球來回擺動一次需要多少時間？

解 可以先求周期：T=2π2π=1（s）.列表：

使問題得到解答：

（1）小球開始擺動時（t=0），離開平衡位置為3 cm.

（2）小球擺動時離開平衡位置最大距離是6 cm、（即振幅）

（3）小球來回擺動一次需要1 s.

在教學中，應用數學知識解決實際問題，應注意從復雜的背景中抽取基本的數學關系，還要調動相關學科知識來幫助解題.不僅要使學生“知其然”，而且要使學生“知其所以然”，讓學生多參與，讓其自主探究分析問題，培養他們分析解決問題的能力，提高應用所學知識的能力.