對(duì)一道高考題的推廣

朱允洲

【摘要】2013年江蘇一道高考題是關(guān)于函數(shù)y=1x（x>0）圖像上一動(dòng)點(diǎn)與直線y=x上的定點(diǎn)之間的距離的最小值問題，本文將函數(shù)y=1x（x>0）進(jìn)行了推廣，即介紹了雙曲線、橢圓和拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P與其對(duì)稱軸x軸上的點(diǎn)A（m，0）之間的距離|AP|的最小值問題，通過推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)|AP|min隨著m的變化而變化，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)及其在圓錐曲線上的位置均與m的臨界值（橢圓、雙曲線是ce，拋物線是焦參數(shù)p）有關(guān)，推廣了高考題中原有的相關(guān)結(jié)論.

【關(guān)鍵詞】最小值；圓錐曲線；臨界值

題1 （2013年高考江蘇卷第13題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點(diǎn)A（a0，a0），P是函數(shù)y=1x（x>0）圖像上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P，A之間的最短距離為22，則滿足條件的實(shí)數(shù)a0的所有值為.

文獻(xiàn)指出了對(duì)題1“秒殺”結(jié)果的錯(cuò)誤，并給出了改編題2，研究了|AP|min=AP0時(shí)點(diǎn)A在直線y=x上的位置.

題2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在直線y=x上，P是函數(shù)y=1x（x>0）圖像上一動(dòng)點(diǎn)，直線y=x與函數(shù)y=1x（x>0）圖像交于點(diǎn)P0，若對(duì)于直線y=x上任意點(diǎn)A，|AP|≥AP0恒成立，則點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍是.

筆者研讀后發(fā)現(xiàn)，可將函數(shù)y=1x（x>0）推廣到雙曲線、橢圓、拋物線的方程，得到一般性的結(jié)論，供大家參考.

此時(shí)點(diǎn)P與M重合.

類似地，如果P為雙曲線左支上一動(dòng)點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性可得：

以上是對(duì)于點(diǎn)P僅在雙曲線的單支上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上移動(dòng)時(shí)，|AP|的最小值及相應(yīng)m的取值情況.

那么，對(duì)于點(diǎn)P在整個(gè)雙曲線上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上移動(dòng)時(shí)，|AP|的最小值及相應(yīng)m的取值情況要隨P在雙曲線的哪支上作相應(yīng)的調(diào)整？P與A位于y軸的同側(cè)，所以

推廣2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一動(dòng)點(diǎn)，M1，M為左、右頂點(diǎn)，A（m，0）是x軸上任意一點(diǎn)，則|AP|的最小值及相應(yīng)m的取值范圍是：當(dāng)m

設(shè)P（x，y），則AP2=（x-m）2+y2=（x-m）2+（1-x2a2）b2=e2（x-me2）2+（1-m2c2）b2.

①若-ce

（AP2）min-AM2=m2c2-1b2-（m-a）2=-1e2（m-ce）2<0（或（AP2）min-AM21=m2c2-1b2-（m+a）2=-1e2（m+ce）2<0），所以|AP|min=bcc2-m2，此時(shí)P點(diǎn)有兩個(gè)：（me2，±b1-m2a2e4）.

②若m≥ce（或m≤-ce），即me2≥a（或me2≤-a），當(dāng)x=a（或x=-a）時(shí)，（AP2）min=e2（±a-me2）2+m2b2c2-b2=（ma）2，故|AP|min=a-m=|AM|（或|AP|min=|a+m|=|AM1|），此時(shí)P與M（或M1）重合.

推廣3 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為拋物線y2=2px（p>0）上一動(dòng)點(diǎn)，O為頂點(diǎn)，A（m，0）是x軸上任意一點(diǎn)，則|AP|的最小值及相應(yīng)m的取值范圍是： 當(dāng)m>p時(shí)，|AP|min=-p2+2pm；當(dāng)m≤p時(shí)，|AP|min=m.

設(shè)P（x，y），則AP2=（x-m）2+y2=（x-m）2+2px=[x-（m-p）]2-p2+2pm.

①若m>p，即m-p>0，當(dāng)x=m-p時(shí)，|AP|min=-p2+2pm，此時(shí)P點(diǎn)有兩個(gè)：（m-p，±2p（m-p））.

②若m≤p，即m-p≤0，當(dāng)x=0時(shí)，|AP|min=m，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合.

【參考文獻(xiàn)】

李培穎.一道2013年高考試題的“秒殺”引發(fā)的探究[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（3）.