數學解題中的“目標性”和“方向性”

錢進

數學解題是數學學習中的重要組成部分，其功能不僅能鞏固所學的新知識、查缺補漏，而且能培養學生較強的邏輯推理能力.在教學過程中，經常發現學生在解題時找不到突破口，學生感覺題目所給的條件與所求解的問題“相距”太遠，找不到它們之間的聯系.造成這種結果的原因有很多，但我認為主要的原因是學生對所要求解的目標理解不是很透徹，如何實現目標感到迷茫，缺乏解題的方向性，導致思維受到了阻礙.即使有些題目最終也能做出來，卻可能花費了大量的時間，這在高考中是致命的，也是不可取的.下面舉例談談“目標性”和“方向性”在解題中的重要作用，以供參考.

例1 已知x，y，z∈R+，x-2y+3z=0，則y2xz的最小值是（ ）.

我曾經把該題作為課堂教學例題，但當時能做出來的學生卻很少，學生反映出來的情況是：找不到x-2y+3z=0與y2xz的聯系.以下是當時兩名同學的解法.

學生甲：x-2y+3z=0x=2y-3z代入y2xz得y2（2y-3z）z，到此進行不下去……

學生乙：x-2y+3z=02y=x+3z代入y2xz得（x+3z）24xz，到此也進行不下去……

如何思考這個題，從什么地方入手？關鍵問題是這個條件是x，y，z三個正數的一些代數和，要求解的是y2xz的最小值，而y2xz是一些數的乘積.如何實現從和轉化為積？如何把條件中變量y的次方從一次升到二次？這就是解該題的目標和方向.雖然我們沒有直接把x-2y+3z=0轉化為y2xz的辦法，但是我們有這樣的關系，可以把和式轉化為乘積式，即x+3z≥2x·3z（因為題中要變成xz的積式）.因此我們就得到該題的解題思路：

x-2y+3z=02y=x+3z≥2x·3zy≥3xz，兩邊平方得y2xz≥3（當x=y=3z時等號成立），所以y2xz的最小值是3.

我們回顧一下學生甲與學生乙的解題思路方向性是否正確.學生甲的解題方向有明顯的失誤，因為所要求的問題中x與z是一個整體，所以不能把它們分開；學生乙的方向雖然正確，但目標不是很明確，導致代入 y2xz后不知道如何進行下一步.其實學生乙把2y=x+3z代入y2xz得（x+3z）24xz后，觀察到分母是x與z的乘積，只需把分母的平方展開，利用均值不等式即可解決y2xz=（x+3z）24xz=x2+6xz+9z24xz≥6xz+6xz4xz=3（當x=y=3z時等號成立）.從該題看出解題時思考解題的方向性變得尤為重要，只要我們的目標明確、解題方向正確，理論上來講都應該能把問題解決.

例2 已知α，β是銳角，且3sin2α+2sin2β=1 （1），3sin2α-2sin2β=0 （2）

求證：α+2β=π2.

錯證 由α+2β=π2，得2β=π2-α，代入（2）得3sin2α-2cosα=0，即6sinαcosα-2cosα=0，因為α，β是銳角sinα=13，從而得到cos2β=13，所以sinβ=33，代入（1）成立，故命題得證.該證明犯了方向性不明確的錯誤，把結論當作條件來進行證明，沒弄清楚目標是什么，導致證明方法錯誤.

證法1：把（1）中的sin2α轉化為cos2α（sin2α=1-cos2α2），sin2β轉化為cos2β（sin2β=1-cos2β2）與（2）聯立，把角都統一成二倍角后再進行運算，最后再把2α轉化為a，雖然得證但過程較復雜，主要是忽略了題目的目標性和方向性，因為結論里的角是α和2β，所以我們只要：（1）sin2β=1-cos2β2，而sin2α不進行變形；（2）sin2α=2sinαcosα，而sin2β不進行變形，即可得到以下簡單的證法.

證法2：由（1）得3sin2α=cos2β，由（2）得6sinαcosα=2sin2β，

兩式相除得tanα=tanπ2-2β，因為α，β是銳角α=π2-2β，即α+2β=π2，命題得證.

證法3：α，β是銳角0<α+2β<3π2，要證明α+2β=π2，只需證明cos（α+2β）=0即可.而cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β中，把由（1）得3sin2α=cos2β、由（2）得6sinαcosα=2sin2β代入即得cos（α+2β）=0.

通過以上幾種證明方法的比較可以看出，問題的關鍵是把條件中的角2α轉化為α，把角β轉化為2β，因為我們的結論中的角只有α和2β，這就是該題的目標性和方向性.我們只要把握了正確的方向，多種解法只是本質的外在表現而已.

在解題中如何把握其目標性和方向性呢？我認為應注意以下幾點：

1.學生必須有扎實的數學基礎知識和掌握常見的數學思想方法，因為數學思想方法是解決數學問題的指路燈，解法只是實現目標的手段而已.

2.突出數學意識的培養，注重數學問題的背景.

3.培養學生平常養成仔細分析問題的條件與結論之間的內在聯系的好習慣.

4.在課堂例題的講解和習題課上，選好典型的題目來引導、分析其錯在何處，思路間斷是何原因等等.