利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（最值）問題

竇本旺

【摘要】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，作為一種工具，被引入到我們的新教材中.它的一個(gè)重要的作用就是求函數(shù)的極值（最值），但是在利用它求極值（最值）時(shí)，往往有很多的誤區(qū)，現(xiàn)總結(jié)如下.

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；函數(shù)；極值

一、記牢基礎(chǔ)知識(shí)

（1）若在x0附近左側(cè)f′（x）>0，右側(cè)f′（x）<0，則f（x0）為函數(shù)f（x）的極大值；若在x0附近左側(cè)f′（x）<0，右側(cè)f′（x）>0，則f（x0）為函數(shù)f（x）的極小值.

（2）設(shè)函數(shù)y=f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則f（x）在[a，b]上必有最大值和最小值且在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得.

二、領(lǐng)悟經(jīng)典例題

例 （2013·福建高考節(jié)選）已知函數(shù)f（x）=x-1+a[]ex（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

從而g（x）的取值范圍為-1[]e，+∞.

所以當(dāng)1[]k-1∈-∞，-1[]e時(shí)，方程（*）無實(shí)數(shù)解，

解得k的取值范圍是（1-e，1）.

綜合①②，得k的最大值為1.

三、方法與技巧總結(jié)

（1）求函數(shù)y=f（x）在某個(gè)區(qū)間上的極值的步驟：

第一步：求導(dǎo)數(shù)f′（x）；

第二步：求方程f′（x）=0的根x0；

第三步：檢查f′（x）在x=x0左右的符號(hào).

①左正右負(fù)f（x）在x=x0處取極大值；

②左負(fù)右正f（x）在x=x0處取極小值.

（2）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值的步驟：

第一步：求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)的極值（極大值或極小值）；

第二步：將y=f（x）的各極值與f（a），f（b）進(jìn)行比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.

四、利用方法與技巧一試身手

已知函數(shù)f（x）=ax-2[]x-3lnx，其中a為常數(shù).

（1）當(dāng)函數(shù)f（x）的圖像在點(diǎn)2[]3，f2[]3處的切線的斜率為1時(shí)，求函數(shù)f（x）在2[]3，3上的最小值；

（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上既有極大值又有極小值，求a的取值范圍.

解 （1）f′（x）=a+2[]x2-3[]x，

由題意可知f′2[]3=1，解得a=1.

故f（x）=x-2[]x-3lnx.∴f′（x）=（x-1）（x-2）[]x2，

由f′（x）=0，得x=2.

于是可得下表：

解得0

故a的取值范圍為0，9[]8.