速解多面體外接球問題

閆銀翠　王麗敏

【摘要】近幾年高考中，有關多面體的外接球的問題，常常是困擾學生的難點.外接球的球心在哪？半徑是多少？解決了這兩個問題，外接球的問題就迎刃而解了.根據不同類型的多面體介紹了三種快速找到外接球的球心和半徑的方法：補成長方體和正方體、利用直角三角形的性質、利用線面垂直的性質.

【關鍵詞】外接球；補體；直角三角形；線面垂直

1.將多面體補成長方體或正方體

我們知道對于長方體或正方體而言，它的外接球的球心是其體對角線的交點，半徑是體對角線長度的一半.如果我們能將一個多面體補成一個長方體，使其頂點與長方體的八個頂點中的幾個重合，則這個多面體的外接球就是其對應的長方體或正方體的外接球.

例1 （2008年福建高考題）若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，

且側棱長為3，則其外接球表面積是 .

分析 因為三條側棱兩兩垂直且側棱長相等，所以可以將該

2.利用直角三角形的性質

我們知道在直角三角形中，斜邊上的中點到三個頂點的距離相等，若一個三棱錐有兩個面是直角三角形且它們的斜邊重合，則該斜邊的中點就是外接球的球心，斜邊的一半即為外接球的半徑.

例2 已知一個三棱錐的三視圖如圖5所示，其中主視圖、俯視圖全是等腰直角三角形，則該三棱錐的外接球的體積是 .

分析 將三棱錐還原在和它長、寬、高相等的長方體中，如圖6所示.易知，△ABC和△BDC是以BC為公共邊的等腰直角三角形，則其外接球的球心為BC的中點，半徑r=BC2=3，所以V球=43πr3=36π.

例3 如圖7是一個空間幾何體的三視圖，其中俯視圖為直角三角形，則該幾何體的外接球的體積為.

分析 將三棱錐還原在和它長、寬、高相等的長方體中，如圖8所示.易知，CD⊥平面ABC，所以CD⊥AC，故△ABD和△ACD是以AD為公共邊的直角三角形，則三棱錐A-BCD外接球的球心為AD的中點，半徑r=AD2=2，所以V球=43πr3=823π.

3.利用線面垂直

我們知道在三角形中到三個頂點距離相等的點是三角形的外心，那么在空間中到三角形三個頂點距離相等的點的集合就是過外心所作的三角形所在平面的垂線.因此，一個多面體外接球的球心一定在過其某個三角形面的外心所作的垂線上.

例4 已知三棱錐的三視圖如圖9所示，則它的外接球的表面積為.

分析 將三棱錐還原在和它長、寬、高相等的長方體中，如圖10所示.易知，Rt△BCD的外心為斜邊CD的中點O，顯然AO⊥平面BCD，故三棱錐A-BCD外接球的球心在直線OA上，又OA=OB=OC=OD=1，所以三棱錐A-BCD外接球的球心為O，半徑r=1，所以S球=4πr2=4π.

例5 （2012年新課標卷）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為（ ）.

A.26 B.36 C.23 D.22

分析 三棱錐S-ABC外接球的球心O在過△ABC的外心O1且垂直平面ABC的垂線上.故OO1⊥平面ABC，O1C=33，O1O=OC2-OO21=63，所以三棱柱的高SD=2O1O=263，因此VS-ABC=13S△ABC×SD=26.故選擇A答案.