尋找平行線的四條途徑

顏冬生

直線與平面平行的判定定理指出：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線與這個平面平行.直線與平面平行的判定定理是證明線面平行的依據，是證明面面平行的基礎，使用的關鍵是在平面內要找到一條直線與已知直線平行，下面給出四種常見找平行線的方法.

1.借助三角形中位線找平行線

三角形的中位線平行于第三邊，這是產生線線平行的有效途徑之一.在平面幾何中解決問題有一個常用的思考方法“見中點聯想中位線”，在立體幾何中同樣需這樣思考.

2.借助平行四邊形找平行線

平行四邊形對邊平行且相等，從尋找平行四邊形的角度思考，也是尋找線線平行的有效途徑之一.

3.借助比例線段找平行線

在平面中有比例線段就有平行線，同樣在空間立體中比例關系也可轉化為線線平行關系，化數量關系為位置關系，這一點也很重要.

圖 3例3 已知有公共邊AB的兩個全等矩形ABCD和ABEF不在同一平面內，P，Q分別是對角線AE，BD上的動點，當P，Q滿足什么條件時，PQ∥平面CBE？

分析 由問題“當P，Q滿足什么條件時，PQ∥平面CBE？”，而P，Q分別是線段AE，BD上的點，為了回答問題必須指明點在線段的位置，從而考慮線段比例，進而聯想有比例線段就有平行線.

即當AP=DQ時，PQ∥平面CBE.

4.借助線面平行性質定理與平行公理找平行線

線面平行性質定理結合平行公理的傳遞性，也是尋找線線平行的有途徑之一.

圖 5例4 如圖，α∩β=CD，α∩γ=EF，β∩γ=AB，AB∥α.

求證：CD∥EF.

分析 題設中有線面平行，可得線線平行.

證明 ∵AB∥α，α∩β=CD，ABβ，

∴由線面平行性質定理得AB∥CD.

同理：AB∥EF.

∴由平行公理的傳遞性可知：CD∥EF.