對一道數學考研試題的思考

周爽

【摘要】本文從一道考研題出發，討論了反例在微積分教學中的必要性，并舉例說明.

【關鍵詞】研究生入學考試；極限；微積分；反例

本研究受中南財經政法大學校級教學研究項目（項目代碼：21122911208）資助.

無窮級數一直是微積分中比較難學的一部分內容，學生在碰到這類問題時常常感到無從下手，而在2014年全國碩士研究生入學統一考試數學（一）中就有這樣一道關于級數的解答題：

本文作者在批閱試卷的過程中，發現該題的得分率普遍偏低，而（1）的得分率又遠遠低于（2）.下面我們首先來看一下（1）的一些常見解法，再來分析下考生出錯的原因.

從上面列出的四種做法中，我們可以看到這道題的第一問實則是在求數列的極限，極限貫穿微積分的始終，相對熟悉、熟練些，所以考生在考試時不要被表象迷惑，應靜下心來思考分析，尋找解題方法.下面我們重點來討論下在考卷中最常用的解法4，實際上這恰恰是一種錯誤的解法，其他三種都是正確的.為什么說解法4是錯的呢？很多學生在學習微積分時常常會有這樣一個誤解：如果能求出一個函數或數列的極限，那么就說明此函數或數列存在極限，而且求出的這個數就是極限.看看此例：對數列un，首項為2，遞推公式為un+1=u2n.顯然這個數列是不存在極限的.但是學生常會求“極限”：假設該數列極限為A，則A必須滿足遞推公式：A=A2，解出A=0 或 1.這里，0，1都不可能是極限.之所以會得到這種結果，原因就在于這個數列的極限雖然不存在，但通項逐漸趨于無窮大，對無窮大而言，是不能用A=A2求的.即使你還能證明某個數列是有界的，用上述求所謂極限的辦法求出來的數也可能不是此數列的極限.考慮遞推式為un+1=sinun的數列就會知道，這個數列雖然有界但不存在極限，而A=sinA的一個解是A=0（這點通過畫圖就可以看到），顯然0并不是這個數列的極限.

那么上述例子是不是說明我們不能通過列方程的方法求數列的極限呢？事實上，此方法解題的正確順序是證明存在極限然后求極限，而不是反過來，不能先假設有極限然后去求它.這里，我們再次體會到了數學這門學科在邏輯上的高度嚴密性，解決任何一個數學問題，無論是代數或是幾何，證明題還是計算題，都要做到言必有據，因此解題時要時刻做到每步有依據.即使較明顯的事實也要有理有據，學習時切忌憑想象自我發明創造.

上述問題也應引起我們的反思，一是廣大考生在準備研究生入學考試時，除了要注重題海戰術外，還應該花一些時間和精力搞清楚各種解題方法的原理本質，常總結在解題過程中容易犯的錯誤，學會用反例來加深理解；同時，這也提醒了數學教師在教學過程中，不要僅僅停留于教學生在碰到一道數學問題時應該怎么做，更重要的是告訴他們為什么可以這樣做，理論依據是什么，這些原理應怎樣 “正確”地使用！以微積分為例，它作為一般高校最重要的一門基礎課程，是進一步學習線性代數、概率論、復變函數等后續課程的基礎，它集科學性、嚴密性與連貫性于一體，系統性與邏輯性強.對于剛剛進入大學的學生來說，在從初等數學（用非極限方法研究常量數學）到高等數學（用極限方法研究變量數學）的轉變過程中，此課程的學習尤為關鍵.該課程包含了一整套抽象而且形式化的嚴謹的理論體系，特別是許多重要的概念和定理都是用抽象的數學語言給予形式化的精確描述，學生在理解上、應用上有一定的難度，也常常會產生一些誤解.鑒于此情況，在微積分教學中，教師可以考慮使用反例來修正學生對知識理解時出現的錯誤，同時也可使學生養成嚴格推理、全面分析的能力.