用一次函數觀點認識一類歸納猜想規律探索題

疏忠良

【摘要】由于猜想本身就是一種重要的數學方法，也是人們探索發現未知的重要手段，非常有利于培養學生觀察問題、分析問題、解決問題能力，尤其是創造性思維能力，所以備受命題專家的青睞，逐步成為中考的持續熱點.這類問題在中考中經常以選擇、填空、解答題形式出現，解題策略是要善于從所提供的數字或圖形信息中，尋找其共同特征之處，這個存在于個例中的共性，就是規律.其中蘊含著“特殊——一般——特殊”的思維模式，又體現了總結歸納的數學思想.

【關鍵詞】 一次函數；認識；歸納猜想規律

問題 為慶祝“六一”兒童節，某小學舉行用火柴棒擺“金魚”比賽.如圖所示：

按照上面的規律，擺n個“金魚”需用火柴棒的根數 y為（ ）.

A.2+6n B.8+6n C.4+4n D.8n

解 分類歸納：

n=1時 y=8

n=2時 y=14=8+1×6

n=3時 y=20=8+2×6

n=4時 y=26=8+3×6

……

當 n 時 y=8+（n-1）×6

猜想：火柴棒根數 y=8+6（n-1）=6n+2，故選A.

反思：

問題1：本題中金魚個數（n）和火柴棒根數（y）兩個變量之間是否存在某種函數對應關系？ 如存在，是什么函數關系？

分析： 列表更能清楚地反映出金魚個數（n）和火柴棒根數（y）的對應關系.

金魚個數n[]1[]2[]3[]4[]…[]n

火柴棒根數y[]8[]8+1×6[]8+2×6[]8+3×6[]…[]8+（n-1）×6

由表知，根據函數概念，易知金魚個數（n）和火柴棒根數（y）兩個變量之間存在函數對應關系，而且是一次函數關系.

問題2： 能否用一次函數有關知識解決本題呢？

探究： 根據題意分析，金魚個數（n）和火柴棒根數（y）兩個變量之間存在一次函數對應關系.因此，可設 y=kn+b（k≠0），將n=1，y=8 和n=2，y=14 代入函數式得

k+b=8，

2k+b=14，解得 k=6，

b=2.

故y=6n+2.

問題3： 上面兩種解法分別是歸納猜想法和用一次函數式待定系數法，解法思路完全不同，但結果相同.是巧合嗎？還是有內在的必然聯系呢？

探究： 請認真觀察本題“金魚”圖形，不難發現，第一個圖形火柴棒8根，第二個圖形火柴棒比第一個圖形火柴棒多6根，第三個圖形火柴棒比第二個圖形火柴棒又多6根，依次類推，第n個圖形比第n-1個圖形火柴棒多6根.此規律構成等差數列.而等差數列就是一種特殊的一次函數.原來如此，金魚個數（n）和火柴棒根數（y）兩個變量之間存在一次函數對應關系.故問題2的探究解法是正確的.

問題4： 是不是所有的歸納猜想問題都可以運用一次函數知識來解決呢？

探究：不是所有的歸納猜想型問題都可以運用一次函數知識來解決.如數字解密：第一個數是3=2+1，第二個數是5=3+2，第三個數是9=5+4，第四個數是17=9+8，…，觀察并猜想第六個數是（B）.

A.64 B.65 C.66 D.67

本例就不能運用一次函數知識來解決.

問題5： 符合什么條件的歸納猜想型問題才可以用一次函數知識解決呢？

探究：當歸納猜想型問題符合等差數列規律時，就可以用一次函數知識來解決.于是，可得下面定理.

定理：能構成等差數列的歸納猜想型問題就可以用一次函數式求通項證明，因為等差數列是特殊的一次函數，故可用一次函數求解.

說明：（1）對于初中生來講，等差數列未學，但只要理解其實質：后一項比前一項大（小）相同的數，就符合等差數列規律.（2）高中學習等差數列通項是 An=A1+（n-1）d 就是歸納猜想型問題中的一般性規律，和一次函數式 y=kn+b求出規律是完全一致的.對于初中生，這里只介紹了一次函數式求法.

應用舉例：將一張正方形紙片剪成四個大小形狀一樣的小正方形，然后將其中的一片又按同樣的方法剪成四小片，再將其中的一小片正方形紙片剪成四片，如此循環進行下去，將結果填在下表中，并解答所提出的問題：

（1）如果能剪100次，共有多少個正方形？據上表分析，你能發現什么規律？

（2）如果剪n 次共有An個正方形，試用含n、An的等式表示這個規律；

（3）能否將正方形剪成2014個小正方形？為什么？

解 （1）100×3+1=301，規律是：本次剪完后得到的小正方形的個數比上次剪完后得到的小正方形的個數多3個.

（2）解法1：歸納猜想得An=3n+1；解法2：觀察表格發現正方形個數依次為 4，7，10，13，16，…每一項比前一項都大3，即公差為3，故正方形個數符合等差數列，因此可用一次函數式求解.

設An=kn+b（k≠0），將n=1，A1 =4 和 n=2，A2 =7 代入得

k+b=4，

2k+b=7，解得k=3， b=1.

所以，An=3n+1.

（3）若An=2014，則3n+1=2014，n=671，∴能將原正方形剪成2014個小正方形.