對一道應用題的反思

李菲菲　姜寧

【摘要】應用題教學改革是當前高中數學課程改革的重要內容之一.在新的課程理念下應該怎樣進行應用題教學？這是每一位教師所面臨的實際問題.在應用題的教學中，應該增強應用題教學內容的開放性，培養學生的應用意識.開放應用題的教學內容，就是要改變傳統應用題教學內容脫離學生的生活實際，呈現方式單一，條件答案唯一的狀況，讓學生感受到應用題生動、有趣、有用，激發學生解決問題的愿望.

【關鍵詞】應用題；反思

2014年南京市第二次模擬試題第17題：如圖，經過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據規劃擬在兩條公路之間的區域內建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M、N（異于村莊A），要求PM=PN=MN=2（單位：千米）.如何設計，使得工廠產生的噪聲對居民的影響最小（即工廠與村莊的距離最遠）？

思路一：設∠AMN=θ，在△AMN中，MN[]sin60°=AM[]sin（120°-θ）.

思路二：（構造直角三角形）

設∠PMD=θ，在△PMD中，

∵PM=2，∴PD=2sinθ，MD=2cosθ.

在△AMN中，∠ANM=∠PMD=θ，∴MN[]sin60°=AM[]sinθ.

思路三：（利用余弦定理）設AM=x，AN=y，∠AMN=α.

在△AMN中，因為MN=2，∠MAN=60°，

所以MN2=AM2+AN2-2 AM·AN·cos∠MAN，

即x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=4.

思路四：（坐標法）以AB所在的直線為x軸，A為坐標原點，建立直角坐標系.

設M（x1，0），N（x2，3x2），P（x0，y0）.∵MN=2，

∴（x1-x2）2+3x22=4.

MN的中點Kx1+x2[]2，3[]2x2.

∵△MNP為正三角形，且MN=2，∴PK=3，PK⊥MN.

∴PK2=x0-x1+x2[]22+y0-3[]2x22=3.

思路五：（幾何法）由運動的相對性，可使△PMN不動，點A在運動.

由于∠MAN=60°，∴點A在以MN為弦的一段圓弧（優弧）上，設圓弧所在的圓的圓心為F，半徑為R，由圖形的幾何性質知：AP的最大值為PF+R.

思路六：（變換法）以AB所在的直線為x軸，A為坐標原點，建立直角坐標系.

設M（x1，0），N（x2，3x2），P（x0，y0）.∵MN=2，∴（x1-x2）2+3x22=4.

即x21+4x22=4+2x1x2.

∴4+2x1x2≥4x1x2，即x1x2≤2.

∵△MNP為正三角形，且MN=2，∴PK=3，PK⊥MN.

MN順時針方向旋轉60°后得到MP.

新情景試題列舉：

如圖，在平面直角坐標系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在（0，1），此時圓上一點P的位置在（0，0），圓在x軸上沿正向滾動.當圓滾動到圓心位于（2，1）時，OP的坐標為.

解析 設A（2，0），B（2，1），由題意知劣弧PA的長為2，∠ABP=2[]1=2.

設P（x，y），則x=2-1×cos2-π[]2=2-sin 2，

y=1+1×sin2-π[]2=1-cos 2，

∴OP的坐標為（2-sin 2，1-cos 2）.

綜合以上兩道題的分析，以后的教學中在大力提倡解題策略多樣化的同時，還要讓學生明確肯定思維優化的必要性，也就是說，我們不應片面地滿足于對于不同方法在數量上的追求，而應通過多種方法的比較幫助學生學會鑒別什么是較好的方法，包括如何依據不同的情況靈活地去應用各種不同的方法.鼓勵發展學生的個性思維，但盲目追求更多的解法也是不可取的.“多樣化”與“優化”是密不可分的兩個整體，它們相輔相成，教學過程中，應適時地將兩者有機地結合.