這樣用微積分求解圓錐的側(cè)面積為什么不對

趙翠英　張冰濤

【摘要】圓錐的體積和側(cè)面積公式在中小學(xué)就已經(jīng)學(xué)習(xí)了，大家對它也很熟悉.下面從微積分的角度推導(dǎo)它的公式，通過這一實(shí)例意在說明在利用微積分解決實(shí)際問題時(shí)應(yīng)該注意的事項(xiàng).它的本質(zhì)是把實(shí)際問題化為定積分問題的一種方法，在物理學(xué)、力學(xué)和工程技術(shù)上廣泛采用.

【關(guān)鍵詞】微元；定積分；高階無窮小

如圖所示的圓錐：底面半徑為r，圓心為O，高為h，母線為L.現(xiàn)用無數(shù)個(gè)平行于底面的平面截取圓錐，得到無數(shù)個(gè)圓臺.設(shè)圓臺的高為dx.當(dāng)dx很小時(shí)將圓臺視為圓柱，得到在離底面高x處的圓柱的體積：

上面的結(jié)果與我們已知的公式相比較，便知求得的體積是對的，而側(cè)面積是錯(cuò)的.為什么用的方法相似，而得到的結(jié)果卻是一個(gè)對而另一個(gè)錯(cuò)了呢？

下面是張志軍在《微元法在利用定積分解決實(shí)際問題中所起的作用》中，（互聯(lián)網(wǎng)上）從“微元法”的角度對這一問題的闡述：

將底半徑為r，高為h的正圓錐的側(cè)面，看作是由xOy平面上的直線y=kxk=r[]h繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的，為了求其體積V，先求體積微元dV=πk2x2dx，即當(dāng)dx很小時(shí)將圓臺視為圓柱，故V=πk2∫h0x2dx=1[]3πr2h.

若求側(cè)面積S時(shí)，也將小圓臺視為圓柱，那么得到的側(cè)面積微元將是dS=2πkxdx，從而S=πrh.

上面的結(jié)果與我們已知的公式相比較，便知求得的體積是對的，而側(cè)面積是錯(cuò)的.為什么用的近似的方法，而得到的結(jié)果卻是一個(gè)對而另一個(gè)錯(cuò)了呢？

關(guān)鍵在于所找的微元是不是待求量A的微分dA，即ΔA-dA是不是比dx高階的無窮小，這一步是必須檢查的.

1.關(guān)于體積有

因此dV的確是V的微分，故積分的結(jié)果符合實(shí)際.

2.關(guān)于側(cè)面積，我們利用中學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于圓弧的長和圓扇形的面積公式，可求得小圓臺的側(cè)面積為

容易看出，這個(gè)差不是高階無窮小量（當(dāng)dx→0）.故上述dS不是S的微分，積分得出結(jié)果當(dāng)然不對了.從（1）式可以看出，S的微分應(yīng)當(dāng)是dS=2πkx1+k2d這個(gè)結(jié)果才是正確的.通過這個(gè)問題的分析，主要是加深我們對“微元法”的理解.關(guān)鍵是所得到的微元一定要是待求量的微分，然后再積分，才不會錯(cuò).

張志軍通過微元法和嚴(yán)格的計(jì)算找出了錯(cuò)誤，下面我從利用定積分解決實(shí)際問題時(shí)的積分對象、積分路徑來證明這一問題.

難道不能用小圓柱的側(cè)面積近似小圓臺的側(cè)面積嗎？

有的資料上說：雖然dl→0，dh→0，但dh不是dl的線性近似，所以不能相互代替.這一說法不準(zhǔn)確，不能揭示出事物的本質(zhì)特性.為什么求側(cè)面積時(shí)，不能用dh代替dl？從計(jì)算結(jié)果上看：兩者存在著數(shù)量關(guān)系dl=lrdh，但兩者都是極小量，為什么不能相互代替？如果單從計(jì)算結(jié)果上比較很難解釋清楚，還得從體積、面積的本質(zhì)上來考慮.

1.體積是面積在高上的連續(xù)疊加，上例中，小圓臺、小圓柱的高相同.

2.圓錐側(cè)面積是周長在母線L上的不斷疊加，而非在高上的疊加.（求體積與側(cè)面積時(shí)的積分對象或積分路徑不同，V→h，S→l）所以圓錐側(cè)面積的積分式為：

我們可以用生活中的一個(gè)實(shí)例來說明：試想用一寬度為a（a→0）的細(xì)膠帶纏繞圓錐側(cè)面，每一匝都與底面平行，一共能纏繞多少匝？顯然是la匝（貼在側(cè)面上），非ha匝.（與側(cè)面成了θ角，θ=arcsinrl）