善辨異同，于細(xì)微處見真知

白建奇

【摘要】常用邏輯用語中的全稱量詞與存在量詞在近年的高考中愈發(fā)受到重視，含有量詞的題目不乏其數(shù)，而且常出現(xiàn)在解答題中.由于語言的特殊性，在理解上存在一定困難.特別是形式上相同，但語言或者符號上存在一定的差異的問題，常會因理解偏差導(dǎo)致錯誤.因此我們將對這類問題進(jìn)行梳理和說明.

【關(guān)鍵詞】全程量詞；存在量詞；恒成立；分離參數(shù)

在高中數(shù)學(xué)的題目中有許多只出現(xiàn)“任意”或者“存在”或者隱藏了量詞的，這些題目若將量詞還原了，都會含有全程量詞和存在量詞，下面就全程量詞與存在量詞相關(guān)的不等式問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題加以說明，并通過例題對問題進(jìn)行分析和梳理.

如問題：（1）若不等式x2+ax+1≥0在x∈0，12恒成立，求a的取值范圍.

（2）若不等式x2+ax+1≥0在x∈0，12有解，求a的取值范圍.

若將命題符號化：（1）x∈0，12，x2+ax+1≥0.（2）x∈0，12，x2+ax+1≥0.

全程量詞與存在量詞的不等式常見的轉(zhuǎn)化策略：

（1）是否存在實數(shù)m，使不等式m+f（x）>0對x∈R恒成立？試說明理由；

（2）若存在一個實數(shù)x0，使不等式m-f（x0）>0成立，求實數(shù)m的取值范圍.

分析 題（1）容易理解，形式上是一個全稱命題，實質(zhì)上是一個不等式恒成立問題！可運用函數(shù)思想，研究函數(shù)g（x）=m+f（x）在R上的最小值；也可以按照套路將不等式m+f（x）>0分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不等式m>-f（x）恒成立，即研究函數(shù)g（x）=-f（x）在R上的最大值.從中可以看出含有全稱量詞的問題，常?？梢赞D(zhuǎn)化為恒成立問題，而這個同學(xué)們是非常熟悉的套路，常采用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題加以研究.

然而（2）是一個特稱命題.對于這類含存在量詞的命題，理解上存在一定困難.老師可能會告訴你結(jié)論： x0∈R，m>f（x0）m>f（x）min.但是為什么呢？其實我們可以換個角度來理解，知道全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，從而獲得一種思路：對于一個特稱命題，先可對其否定，轉(zhuǎn)化為全稱命題，求出此時變量的范圍，再求它的補集.

于是，（2）的否定形式為：對任意的實數(shù)x，不等式m-f（x）≤0成立，也轉(zhuǎn)化成了恒成立問題，從而m≤f（x）min，注意到f（x）=（x-1）2+4≥4，于是m≤4，從而（2）的解為m>4.也就說明了“x0∈R，m>f（x0）m>f（x）min”的正確性.

例2 函數(shù)f（x）=x2，g（x）=12x-m.

（1）若對于任意x1∈-1，3，x2∈0，2，都有f（x1）≥g（x2），求實數(shù)m的取值范圍；

（2）若對于任意x2∈0，2，總存在x1∈-1，3，使得f（x1）≥g（x2）成立，求實數(shù)m的取值范圍.

分析 這兩個題更為相似，極易出錯.問題（1）是一個全稱命題，可以像例1一樣轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題處理.注意到兩個函數(shù)自變量不一樣，因此“對任意x1∈-1，3，x2∈0，2，都有f（x1）≥g（x2），求實數(shù)m的取值范圍”等價于“解含有參數(shù)m的不等式f（x）min≥g（x）max”，于是，只需f（0）≥g（0），從而m≥1為所求.

問題（2）中若按照上述方法去處理，那就錯了.因為題中含有存在量詞.類比例1的做法，可以先考慮將f（x1）視作具體的參數(shù)，這樣就是例1中的（1），即只需f（x1）≥g（x）max；其次將g（x）max視作具體的數(shù)，研究存在x1∈-1，3使得f（x1）≥g（x）max成立，轉(zhuǎn)化為例1中的（2），從而須且只需f（x）max≥g（x）max成立.也即f（3）≥g（0），于是m≥-8為所求.

從中我們可以發(fā)現(xiàn)，面對形同質(zhì)不同的問題，要善于從已有的問題或者概念本身出發(fā)去加以辨析和研究，如此才能更準(zhǔn)確地把握問題的內(nèi)涵.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李俊.含有全稱量詞、存在量詞的不等式成立問題的轉(zhuǎn)化策略.中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版·上半月），2012（9）.

[2]陳蘭清.淺談全稱量詞和存在量詞的教學(xué). 福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2006（5）.