第二類曲面積分的計算方法和技巧

劉春梅　周立平　匡彪

【摘要】第二類曲面積分的計算是積分運用中的一個難點，若能巧妙地運用方法去求解，則可以大大地簡化計算.本文介紹了幾種常見的求解第二類曲面積分的方法，還給出了利用變量的輪換對稱來簡化第二類曲面積分的計算，使第二類曲面積分的計算更加簡潔.

【關鍵詞】第二類曲面積分；計算方法；計算技巧

【中圖分類號】O13 【文獻標識碼】A

一、緒 論

曲面積分是高等數學多元函數積分學中的重要組成部分，也是數學分析中一類具有挑戰性的問題，從而如何計算曲面積分已成為學習中的重點和難點.在第二類曲面積分的學習過程中，學生必須在理解概念的同時，掌握求第二類曲面積分的方法和技巧.由于第二類曲面積分的概念比較抽象，難理解，計算方法靈活多變，而且涉及的數學知識面廣，掌握起來有一定的難度，因此本文對第二類曲面積分的計算題目進行了認真分析，并結合具體實例以及教材總結出其特點，得出具體的計算方法.

本文先通過找出每種方法的適用條件，然后針對具體的題目尋找解題技巧.如文獻[1-2]主要介紹平面投影法、高斯公式這兩種方法，在文獻[3-6]中主要介紹了利用定義法、斯托克斯公式、參數方程法求第二類曲面積分.而本文將主要針對第二類曲面積分的計算方法進行分析和歸納，并總結解題的思路和技巧，以幫助加深對基本概念的理解，加強對基本解題方法與技巧的掌握，進而提高學生學習能力和數學思維水平.

二、第二類曲面積分的方法

1.定義法

設R是定義在光滑曲面S：z=z（x，y），（x，y）∈Dxy上的連續函數，以S的上側為正側，則有SR（x，y，z）dxdy=DxyR（x，y，z（x，y））dxdy.

定義法主要適用于當單位法向量容易求得且易于表達的情形.

2.高斯公式

定義 在空間區域V由分片光滑的雙側封閉曲面S圍成，若函數P，Q，R在V上連續，且有一階連續偏導數，則

高斯公式的實質為空間閉區域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系（該公式只對閉曲面成立，且將第二類曲面積分化為三重積分）.當空間曲面較為復雜但差一個簡單曲面或平面時，可以利用補面法將曲面補齊，并進行計算，此時也應該特別注意方向的判斷.

例1 計算J=Sy（x-z）dydz+x2dzdx+（y2+xz）dxdy，其中S為曲面z=5-x2-y2上z≥1的部分，并取外側.

分析 由于S不是封閉的空間區域，則不能直接使用高斯公式.為此添加一曲面S1：x2+y2≤4，z=1，并取下側，那么S∪S1構成了封閉曲面，從而原積分的計算轉化為較簡單的三重積分和S1上的第二類曲面積分的計算.

解 令S1：x2+y2≤4，z=1，并取下側，結合高斯公式有：

其中V為S∪S1所圍成的空間區域，Dxy為S1在xy坐標平面上的投影區域.

3.斯托克斯公式

斯托克斯公式是建立沿空間雙側曲面S的積分與沿S的邊界曲線L的積分之間的聯系.對曲面S的側與其邊界曲線L行走，指定的側總在人的左邊，則人前進的方向為邊界曲線L的正向，這個規定方向也成為右手法則.

定義 若P=P（x，y，z），Q=Q（x，y，z），R=R（x，y，z）都是連續可微分函數和C為限制逐片光滑的有界雙面曲面S的逐段光滑的簡單封閉周線，則產生斯托克斯公式：

CcPdx+Qdy+Rdz=ScosαcosβcosγxyzPQRdS，式中cosα，cosβ，cosγ是指向周線C逆時針方向（對于右旋坐標系）環繞的那一面的曲面S的法線方向余弦.

注：如果是封閉的可以直接運用斯托克斯公式進行計算，如果不是封閉的，那就應該適當地添加一些輔助線段，使其成為封閉的，然后再運用斯托克斯公式.

4.平面投影法

平面投影法是計算第二類曲面積分的基礎方法，可以概括為“投影、描述、代入”，此積分包括三個積分，如計算∑R（x，y，z）dxdy：第一步，將∑在xOy面投影，得投影區域D

3.

總結 在用平面投影計算第二類曲面積分的時候，如果被積函數是偶函數或者奇函數的時候可以利用性質進行求解，就可以簡化計算.

5.參數方程法

參數法是計算第二類曲面積分的最常用方法，將其轉化為定積分，應用時要特別注意上下限的確定（根據所給的方向而不是大小），常用于球面參數和柱面參數，由球面可推橢球面，其他參數由于計算復雜使用不多.其中球面參數、柱面參數如下：

球面參數S：x=rsinφcosθ，0≤r≤+∞y=rsinφsinθ，0≤φ≤πz=rcosφ，0≤θ≤2π，其中雅克比行列式為r2sinφ；

柱面參數S：x=rcosθ，0≤r≤+∞y=rsinθ，0≤θ≤2πz=z，-∞

例3 計算積分Sxyzdxdy，其中S是球面x2+y2+z2=1在x≥0，y≥0部分取外側.

解 對S：x2+y2+z2=1 在x≥0，y≥0部分取上下側得z=±1-x2-y2，球面在xOy標面上的投影為Dxy=（x，y）|x2+y2≤1，x≥0，y≥0，于是有

（2）若被積函數關于x是偶函數，∑關于yOz面對稱，則∑dydz=0；若被積函數關于y是偶函數，∑關于xOz面對稱，則∑dzdx=0；若被積函數關于z是偶函數，∑關于xOy面對稱，則∑dxdy=0.

結 語

以上的一些例題介紹了一些常見的利用定積分求解無窮項和式極限的思路和方法，它們都基于定積分的定義以及一些常用的極限計算方法.但與此同時，也不可對此類問題思維定式，畢竟不是所有的無窮項和式極限都能用定積分定義求解的，關鍵還是要符合定積分的定義.

【參考文獻】

[1]同濟大學應用數學系.高等數學：上冊[M].第六版.北京：高等教育出版社，2011：225-226.

[2]國防科學技術大學大學數學競賽指導組.大學數學競賽指導[M].北京：清華大學出版社，2012.