利用定積分定義求無窮項和式的極限

馮佳賓

【摘要】無窮項和式的極限計算是高等數學中的一個重點也是一個難點，本文將介紹如何利用定積分的定義來求解無窮項和式的極限.

【關鍵詞】定積分；無窮項和；極限

【中圖分類號】O13 【文獻標識碼】A

在高等數學中定積分的定義為：∫baf（x）dx=limλ→0∑ni=1f（ξi）·Δxi，其中xi-1≤ξi≤xi，λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}.幾何意義即用窄條矩形的面積代替曲邊梯形的面積再求和取極限，也就相當于無窮多個無窮小的和相加.如果所求極限可以寫成limn→∞b-an∑nk=1f[a+（k-1）b-an]或者limn→∞b-an∑nk=1f[a+k·b-an]便可利用定積分的定義來求解這樣一類無窮項和式極限，很多文獻對此都有比較詳細的介紹.然而有一些題目，僅僅通過簡單變形還不夠，還需要適當的極限運算定理以及對定積分定義更靈活地應用才能應用這兩個公式求解，本文下面將主要介紹三個方法，并結合實例進行說明.

1.放縮法結合夾逼定理

放縮是為了得到原問題中無法通過直接變形得到的因子：in，因此放縮時應該朝這個方向去思考如何進行適當放縮，所謂適當即被放縮部分在放縮前后應是等價量，在這一個大原則下去放縮，便不會放得太大或者太小，再通過具體的分析，便能找到合適的放縮量.

2.選取合適的區間進行合適的等分

很多時候積分都是在區間[0，1]進行的，但是當每項變化的部分不再是從1到n連續地變化了，那便需要考慮要在其他的區間上進行合適的等分，再使每個小區間趨于零，下面通過兩個實例進行說明.

此題在[0，2]上積分，并將區間分成n等份，得到n個小區間[0，2n]，[2n，4n]，…，2n-2n，2nn，依次取每個區間的中點處的值1n，3n，…，2n-2n，2nn作為定積分定義中的ξi.

可以看到例2每項變化的部分是以1，3，5…的方式變化的，例3是以1，4，9…的方式變化的，但均不再從1到n連續變化.

3.適當運用極限運算法則

無窮項和式極限也是極限的一種，那自然也可以運用極限運算法則中等價無窮小等原理進行計算.