淺談 “一題多解”“一題多變”對學生發散思維的培養

喬忠洋

發散思維是對已知信息進行多方向、多角度的思考，不局限于既定的理解，從而提出新問題、探索新知識或發現多種解答和多種結果的思維方式.它的特點是思路廣闊，尋求變異，對已知信息通過轉換或改造進行擴散派生以形成各種新信息.它對推廣原命題、引申舊知識、發現新方法等具有積極的開拓作用，因此創新能力更多地寓于發散思維之中.發散思維的培養在教學中可以通過“一題多解”“一題多變”來實現.

通過“一題多解”“一題多變”訓練學生從不同的角度思考問題、分析問題、解決問題.它們在教學過程中都要以“一題多問”或“一題多思”作為啟發誘導以生成解法鏈和命題鏈.從思維方式的構成來看，“一題多解”是命題角度的集中——集中目標是證題或解題，解法角度的發散——發散對象是解題方法.而“一題多變”則是命題角度和解法角度兩個方面的同時發散.由此可見，“一題多變”的發散性更強，在數學教學中恰當地適時地加以運用，更容易誘發和培養學生的創造性思維.

例如：在“怎樣探求點的軌跡”教學中設計了這樣一個問題：

圖 1如圖1，C是定圓A內的一個定點，D是圓上的動點，求線段CD的垂直平分線與AD的交點F的軌跡方程.

分析 注意EF是CD的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質，點F到D的距離與F到C的

距離相等，即FD=FC.這樣

FA+FC=FA+FD=R，其中R是定圓的半徑，是定值.由于點C是圓A內的一點，所以|AC|<|AD|=R.根據橢圓的定義，點F的軌跡是以A，C為焦點，R為長軸長的橢圓.（解法略）

變題1 如圖1，E是 CD中點，求E的軌跡.

解法1 由于|OE|=12|AD|=a，是定值，所以E是以O為圓心，a為半徑的圓.其方程為x2+y2=a.

變題2 如圖2，變“E是 CD中點”為“G是直線CD上的一點”，求G點的軌跡.

解法1 過G作AD的平行線，交AC于H，HG|AD|=CGCD，若CGCD是一個定值，則HG就是一個定值，所以G點的軌跡是以H為圓心、HG為半徑的一個圓.

解法2 設Gx，y，CGGD=λ，則D1+λx-cλ，1+λλy，而D點的坐標滿足圓A的方程x+c2+y2=a2，

則有1+λλx-1-λλc2+1+λλy2=a2，表示一個圓.

由Fx′，y′滿足橢圓方程x2a2+y2b2=1得到x-c22a24+y2b24=1.這是兩個離心率相同的橢圓（長、短軸的比不變，離心率也不變）.

解法2 ∵|OK||AF|=|CK||CF|=12，∴|OK|+|CK||AF|+|CF|=12.

而|AF|+|CF|=2a，|OK|+|CK|=a，是定值，所以點K的軌跡是以O，C為焦點，以a為長軸長的橢圓，其方程為x-c22a24+y2b24=1.

變題4 在直線CF上任意取一點L（不是C），探求點L的軌跡，并求出方程.

分析 設λ′=CLLF，點Lx，y，則有F（1+λ′）x-cλ′，1+λ′λ′y，代入橢圓方程 x2a2+y2b2=1便可求出L的軌跡方程.

在教學過程中教師要善于挖掘和選擇數學知識中的發散素材恰當選擇典型的問題、創設問題情境啟發學生多方向、多角度地思考.對發散性較強的問題讓學生大膽地去猜想變換問題，并設法解決問題；對一般性的問題則要通過教師的設問啟發學生的思維發散，培養學生的數學發散思維.