實變函數中的若干反例

黃金銳

【摘要】本文針對實變函數中幾個特定問題構造出相應的反例，并給出嚴格的證明，同時做了進一步的討論.

【關鍵詞】可測函數；點點收斂；依測度收斂

【中圖分類號】O174

1.復合函數的依測度收斂

命題“f∈C（Ω），ΩRn，gk依測度收斂于g，則fogk依測度收斂于fog.”是不成立的（[1][2]得出在添加條件m（Ω）<∞或者{gk}一致有界且Ω為閉集時命題成立），下文構造該命題的反例，本例中的{f～k}也可以作為點點收斂而不依測度收斂的反例.下文中gk依測度收斂于g簡記為gkmg.

2.依測度收斂函數列的有界性

問題相當于是當函數列依測度收斂時，能否去掉測度足夠小的點集，使得函數列一致有界.

下文同樣構造出在m（Ω）<∞情況下的反例：

另一方面，N>0，mE（∪∞n=1k≤2ng（n）k（x）>N）≥mE（∪n≥Nk≤2ng（n）k（x）>N）=m（[0，1]）=1，與問題所求相悖.

注：例4也是問題（*）在m（Ω）<∞以及gk有界情況下的反例.

3.結 語

在實變函數的學習中，反例的作用十分重要，往往是尋找充分條件和改進條件的重要依據.文章以一個簡單而有趣的例子作為結束.考慮以下命題：f在x=x0處可導，f′（x0）≠0，則f在x0某鄰域內均單調.命題不成立.容易誤解為f′在x0點連續時，則會覺得命題是成立的.

例4 f（x）=x2sin1x+x2， x≠0，0，x=0.

證明 f′（0）=limx→0f（x）-f（0）x=limx→0xsin1x+12=12>0，f′（x）=2xsin1x-cos1x+12，

取xn=12nπ， n∈Z+，則：f′（xn）=-12<0.證畢.

【參考文獻】

[1]胡適耕，劉金山.實變函數與泛函分析定理、方法、問題[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]鄧東皋，常心怡.實變函數簡明教程[M].北京：高等教育出版社，2005.

[3]王晉勛.實變函數論中的幾個問題與反例[J].韶關學院學報，2006（27，12）：16-18.

[4]Gelbaum B. Problems in Analysis[M]. Berlin：SpringerVerlag， 1982.