三角函數“求值問題”的解法

肖剛　鐘紅麗

【摘要】數學是研究現實世界空間形式和數量關系的學科，通俗地說是研究“數”和“形”的學科.三角函數是初等數學的一個分支，是研究任意角的集合與一個比值的集合變量之間對應關系的一門科學.而三角函數中的求值問題是中學數學教學中的一個重要課題，是高考數學運算能力考查的重要體現.下面通過例題來探究三角函數求值問題的解題方法.

【關鍵詞】三角函數；求值；求解

已知一個角的某一個三角函數值，求這個角的其他三角函數值，這類問題，可以分成三種情況.

一、一個角的某一個三角函數值和這個角所在的象限或終邊落在哪個坐標軸上都是已知的，此類情況只有一組解.

分析 題中給出了1tanα的具體數值，并且給出了α所在的區間，求角α的其他三角函數值，只有一組解.

二、一個角的某一個三角函數值是已知的，但這個角所在的象限或終邊落在哪個坐標軸上沒有給出，解答這類問題，首先要根據已知的三角函數值確定這個角所在的象限或終邊落在哪個坐標軸上，然后分不同的情況求解.

例2 已知cos360°+α=-35，求α的正弦值和正切值.

分析 先確定α所在的象限，再根據同角三角函數的基本關系式來解sinα和tanα.

注意 求解“三角函數最值問題”應注意以下幾點：1.確定角α所在的象限，以便確定三角函數值的符號.2.盡可能地回避三角函數的平方關系，以免增加增根，以減少不必要的討論.

三、一個角的某一個三角函數值是用字母給出的，或用一個角的某一個三角函數來表示這個角的其他三角函數，此類情況有兩組或四組解.

分析 sinα=mm≤1，未給出具體數值，解法一般為：“先平方，后倒商.”即先根據同角三角函數基本關系式sin2α+cos2α=1解出sinα，再分象限討論sinα結果的正負情況，接下來用倒數關系及商數關系，符號問題就解決了.

【參考文獻】

[1]宋來彬.三角函數求值的幾種方法[J].2005（6）：97-98.

[2]陳華安.三角函數求值問題的解題思維策略分析[J].2009（12）：4-6.