探究規律，巧求坐標

魏秀珍

探究坐標系中點的坐標問題是近幾年的熱點考題之一，這類題新穎、獨特，綜合性強，有利于培養同學們的學習興趣，對提高同學們的解題能力也大有益處.下面舉凡例，供同學們學習時參考，

例1 如圖1，將邊長為1的等邊三角形OAP沿X軸正方向連續翻轉2015次，求此時三角形落在X軸上右側頂點X2015的橫坐標.

解析：因為等邊三角形OAP的邊長為1，所以X1的橫坐標為1，X2的橫坐標為2……

依此得出規律：每翻轉一次橫坐標就增加1，所以點X2015的橫坐標為2015.

例2 -個點F在X軸、y軸上及第一象限內運動，在第1秒，它從原點運動到（0，1），接著按如圖2中箭頭所示方向運動，其運動方向為（0，0） →（0，1）→（1，1）→（1，0）→……已知點F每秒移動1個單位長度，求第35秒時點F所在位置的坐標.

解析：點F運動方向是（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→……

觀察可知對應著x軸上的每個偶數a對應的點，點F運動了a2秒的時間；對應著y軸上的每個奇數b對應的點，點F運動了b2秒的時間.如到（0，1）時，點F運動了1秒，到（0，3）時，點F運動了9秒，所以第36秒時點F所在位置的坐標是（6，0），所以第35秒時點F所在位置的坐標為（5，0）.

例3 如圖3，在平面直角坐標系中，第一次將△OAB變換成△OA1B1，第二次將△OA1B1變換成△OA2B2，第三次將△OA2B2變換成△OA3B3.已知點A（1，3），A1（-2，-3），A2（4，3），A3（-8，-3），B（2，0），B1（-4，0），B2（8，0），B3（-16，0）.

（1）觀察每次變換前后三角形的變化情況，找出其中的規律，按此規律再將△OA3B3變換成△OA4B4，則點A4的坐標是____，點B4的坐標是____.

（2）若按（1）中找到的規律將△OAB進行n次變換，得到△OAnBn，推測點An的坐標為____，點Bn的坐標為_____.

解析：（1）根據題意可知，點A4的坐標為（16，3），點B4的坐標為（32，0）.

（2）點An的坐標為（（-2）n，3×（-1）n），點Bn的坐標為（-（-2）n+1，0）.