坐標(biāo)系中求面積

宋愛(ài)華

在平面直角坐標(biāo)系中求三角形的面積，需要根據(jù)三角形中各頂點(diǎn)的坐標(biāo)確定底邊長(zhǎng)和高，進(jìn)而求出三角形的面積.而對(duì)于四邊形、五邊形等，往往需要借助三角形來(lái)求面積.

例1 如圖1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（2，3），B（4，0），C（-2，0），求△ABC的面積.

解析：觀察圖形可知，BC邊在X軸上，且BC邊的長(zhǎng)易求.要求△ABC的面積，還應(yīng)確定BC邊上的高.根據(jù)點(diǎn)A（2，3）可知，BC邊上的高是3.

Bc=|4-（-2）|=6，所以S△ABC=1/2×6×3=9.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)三角形有一條邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，則以這條邊為底邊，其長(zhǎng)度等于這條邊上的兩個(gè)頂點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，這條邊上的高等于另一個(gè)頂點(diǎn)的縱（橫）坐標(biāo)的絕對(duì)值.

例2 如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-3，-2），B（0，3），C（-3，2），求△ABC的面積.

解析：只有AC邊的長(zhǎng)容易求得，所以先求出AC邊的長(zhǎng)，再找到AC邊上的高.

如圖2，作AC邊上的高BD.

根據(jù)點(diǎn)A（-3，-2），C（-3，2），可求得AC=|2-（-2）|=4，BD：|-3|=3，所以S△ABC×4×3=6.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)三角形有一條邊與坐標(biāo)軸平行時(shí)，則以這條邊為底邊，其長(zhǎng)度等于這條邊上的兩個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值（平行于X軸時(shí)）或縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值（平行于y軸時(shí)），這條邊上的高等于另一個(gè)頂點(diǎn)到這條邊所在的直線(xiàn)的距離.

例3 如圖3，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），求△ABC的面積.

解析：參照?qǐng)D3作輔助線(xiàn)，則四邊形ADEC是直角梯形.

根據(jù)點(diǎn)A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），可求得AD=4，CE=6，DB=4，BE=1，DE=5，所以S△ABC=1/2（AD+CE）·DE-1/2AD·DB-1/2CE·BE=1/2×（4+6）×5-1/2×4×4-1/2×6×1=14.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)三角形的三條邊都不與坐標(biāo)軸平行時(shí)，可過(guò)三角形的頂點(diǎn)作與坐標(biāo)軸平行的直線(xiàn)，將三角形的面積轉(zhuǎn)化為直角梯形或長(zhǎng)方形與直角三角形的面積之差的形式.

例4 如圖4，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別是A（4，2），B（4，-2），C（0，-4），D（0，1），求四邊形ABCD的面積.

解析：參照?qǐng)D4作輔助線(xiàn)，則四邊形ABCE是直角梯形.

AB=|2-（-2）|=4，CE=|2-（-4）|=6，DE=1，AE=4，S四邊形ABCD=1/2（AB+CE）·AE-1/2DE=1/2×（4+6）×4-1/2×1×4=18.

點(diǎn)評(píng)：求一般四邊形的面積時(shí)，可將一般四邊形的面積轉(zhuǎn)化為特殊四邊形（如直角梯形）與特殊三角形（如直角三角形）的面積之和或面積之差的形式.