平面直角坐標(biāo)題 分類討論要注意

朱亞邦

我們在解與平面直角坐標(biāo)系有關(guān)的問題時，經(jīng)常會遇到包含多種情況的問題，稍不理解，就會漏解，這就需要我們謹(jǐn)慎對待，仔細(xì)分析.

一、兩種情況的討論

1.與面積有關(guān)的分類.

例1 已知點(diǎn)A（l，0），B（5，0），點(diǎn)P在y軸上，且 S△ABP=8，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析：點(diǎn)A、B在x軸上，且AB=5-1=4.

點(diǎn)P在y軸上，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（O，h）.

由S△ABP=8可得1/2AB.|h|=8，即1/24|h|=8.

故=±4.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）或（0，-4）.

2.與坐標(biāo)軸有關(guān)的分類.

例2 已知點(diǎn)A（n+1，3），B（2，n），當(dāng)AB平行于坐標(biāo)軸時，求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，

解析：應(yīng)分如下兩種情況討論，

當(dāng)AB平行于x軸時，點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)相等，即n=3.所以n+1=4.

此時點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（4，3），（2，3）.

當(dāng)AB平行于y軸時，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)相等，即n+l=2.解得n=1.

此時點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2，3），（2，1）.

二、三種情況的討論

1.與正方形的頂點(diǎn)有關(guān)的分類.

例3在平面直角坐標(biāo)系中，一個正方形的兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，0），（-2，0），求另外兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo).

解析：由已知的兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)（0，0），（-2，0），可知這兩個頂點(diǎn)都在x軸上，而另外兩個頂點(diǎn)則有三種情況（如圖1）.故另外兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)可能分別為（0，2），（-2，2），也可能分別為（0，-2），（-2，-2），還可能分別為（-1，1），（-1，-1）.

2.與平行四邊形的頂點(diǎn)有關(guān)的分類.

例4 已知一個平行四邊形的三個頂點(diǎn)分別為0（0，0），A（2，0），B（l，2），求第四個頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，

解析：共有三種情況（如圖2）.

頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-2）或（-1，2）或（3，2）.

三、四種情況的討論

1.與距離有關(guān)的分類.

例5 已知點(diǎn)P（m，n）到x軸的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為5，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析：點(diǎn)P（m，n）到x軸的距離為3，故|n|=3，所以n=±3；點(diǎn)P（m，n）到y(tǒng)軸的距離為5，故|m|=5，所以m=±5.

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，3）或（-5，3）或（5，-3）或（-5，-3）.

2.與坐標(biāo)軸、距離有關(guān)的綜合分類.

例6 已知點(diǎn)A（0，0），點(diǎn)B和點(diǎn)A在同一條坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離為5，求點(diǎn)B的坐標(biāo).

解析：點(diǎn)B和點(diǎn)A可能同在x軸上（此時點(diǎn)B可能在點(diǎn)A右側(cè)，也可能在點(diǎn)A左側(cè)），也可能同在y軸上（此時點(diǎn)B可能在點(diǎn)A上方，也可能在點(diǎn)A下方），故點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0）或（-5，0）或（0，5）或（0，-5）.