“平面直角坐標系”導學

田載今

人教版初中數學教科書中，第七章“平面直角坐標系”包含兩節內容.前一節引入了平面直角坐標系，從而給出了描述平面內任一點的位置的工具：后一節討論：坐標方法的簡單應用.點是構成圖形的基 本元素，坐標由有特定含義的數構成，點與坐標之間的相互轉化，是形與數的轉化，坐標方法是數形結合的產物。 ：

1.坐標是對點的位置的數量化表示.

任何幾何圖形都可以看作點的集合，幾何巾的點本身沒有大小，只表示特定的位置，如何精確地描述點的位置？這是數學中的一個基本問題.

如果要研究的點恰好都在同一條直線上，那么我們可以選這條直線為數軸，取它上面的一個定點作為原點，再規定出單位長度和正、負方向，則這條直線上原點之外的任一點P到原點的距離及點P在原點的哪一側就隨之確定了，于是，點P的位置就能用它對應的數x表示了，x的絕對值表示點P到原點的距離，x的正負表示點P在原點的哪一側，x叫作點P在這條數軸上的坐標，我們已經知道，數軸上任一點都對應一個確定的實數，反過來，任一實數都對應數軸上唯一的點，因此，數軸是能精確地描述同一條直線上點的位置的數學工具，數軸上的所有點與全體實數有一一對應的關系.

如果要研究的點都在同一平面內，但不都在同一條直線上，那么用一條數軸就無法描述這些點的位置了.于是，有人想到用兩條數軸解決問題，如圖1，畫一條水平方向的數軸，取向右為正方向，記作x軸；過x軸的原點O再畫一條豎直方向的數軸，也以點（）為原點，取向上為正方向，記作y軸，這就組成了一個平面直角坐標系.從平面直角坐標系內的一點P，分別向x軸和y，軸作垂線，垂足分別對應x軸上的數x0和y軸上的數Yo，這樣點P就與有序數對（xo，yo）對應起來了，（xo，yo）即為點P在這個平面直角坐標系內的坐標，按照這種方法，平面內任一點都有一個有序數對（x，y）形式的坐標，而且不同的點的坐標不相同：反過來，任一有序數對（x，y）在平面內只對應唯一的點.因此，平面直角坐標系是能精確地描述平面內點的位置的數學工具，一個平面內的所有點與全體有序實數對有一一對應的關系，

比較上述兩類問題，可以發現：確定直線上點的位置時，用一條數軸，點的坐標為一個實數，這叫作一維坐標；確定平面內點的位置時，用兩條數軸，點的坐標為兩個有序的實數，且不同位置上的實數各自有著特殊的意義，這叫作二維坐標.可以進一步想到，確定空間中點的位置時，要用三條數軸，點的坐標為三個有序的實數，且不同位置上的實數各自有著特殊的意義，這叫作三維坐標，這些坐標都是在不同條件下對于點的位置的數量化表示，且在日常生活中都有所體現.例如，在沿一條畫好的直線植樹時，如果給出了這條直線上的一個定點作為參照點，那么只用一個數就能表示某個植樹點在參照點的哪一側，離參照點有多遠：在一張方格紙上描點時，只用兩個數分別表示行號和列號，就能準確地描述要描的點的位置：去一個樓上、樓下都有座位的電影院看電影時，根據電影票上分別表示樓層、排號和列號的三個數，就能準確地找到自己的座位.

2.坐標方法是重要的數學方法，

數學研究的主要對象是數量關系和空間形式，這兩者不是截然分離的，而是密切相關的.坐標方法的作用并不局限于給出點的位置的數量化表示，也不僅是能對平移等圖形變化給出數量化描述.坐標方法的重要貢獻在于為形與數的轉化提供了有效途徑，從而建立了點與坐標的對應關系，這不僅把點的位置用數的形式表示了，而且也給用數量關系刻畫幾何圖形提供了方便，例如，等式y=2x表示y與x的數量關系，當x分別取0、±1、±2、…時，y的值分別是0、±2、±4、….我們把有這種關系的x和y分別作為點的橫坐標和縱坐標（x和y也叫坐標分量），則以這樣的有序數對（x，y）為坐標的點包括（-2，-4），（-1，-2），（0，0），（1，2），（2，4）等，所有滿足y=2x的點（x，y）在平面直角坐標系內構成一條直線（如圖2），我們稱它為直線y=2x.于是我們既可以利用這條直線直觀地研究y=2x這一數量關系，又可以利用y=2x這一式子研究這條直線.

坐標方法的出現，使幾何問題可以代數化，即找出圖形上點的坐標分量應滿足的數量關系，從而得到圖形對應的方程，通過討論方程來研究圖形.這種方法的創立者是法國的哲學家和數學家笛卡兒（Descartes.1596-1650）.他的哲學著作《方法論》的附錄《幾何學》，集中反映了平面坐標方法和變量思想.盡管笛卡兒最初提出的平面坐標系與現行的平面直角坐標系在具體形式上有差別，但是他的思想引導了解析幾何的誕生.解析幾何這一用代數方程研究幾何圖形的數學分支，又為微積分的誕生創造了條件.恩格斯對此的評價是：“笛卡兒變數（即坐標）的出現，是數學中的轉折點，從此運動和辯證法進入了數學，微積分的出現也成為必然.”

數學家華羅庚認為，數無形，不直觀，形無數，難人微，在后續學習中大家會看到，坐標方法既可以為函數建立圖象，使得抽象的數量關系得到直觀的幾何解釋，又可以將幾何圖形數量化地表示出來，通過對數量關系的定量研究更細微地認識圖形.坐標方法有如此重要的作用，是因為它把數與形完美地結合起來，使得它們優勢互補、相得益彰.

3.坐標方法的應用一例，

坐標方法有著廣泛的應用，本章中主要介紹了用坐標表示地理位置和平移變換，除了平面直角坐標，還有極坐標等可以確定點在平面內的位置，極坐標也是有序數對，其中兩個坐標分量分別表示距離和角度，教科書第74頁“思考”中的問題就適合用這種形式的坐標解決.雖然它與平面直角坐標有區別，但是它們的基本思想是相同的.

有了坐標方法，可以使解決問題的思路更寬廣，甚至可以通過精確的作圖代替復雜的計算.下面的問題如果不用坐標方法，則要等我們到高中學習了正弦定理等知識以后才能解決，但是如能靈活運用坐標方法，我們現在也能解決它.

問題從海岸上A地測得小島C在北偏東40°方向，從海岸上B地測得小島C在北偏西50°方向，A地在B地的正西方向，兩地相距lkm.你能否求出小島C到A、B兩地的距離？

分析：已知條件中有兩個方位角和一個距離，要求兩個距離，可以先建立適當的平面直角坐標系，表示出A、B兩地的位置，再進一步確定小島C的位置.

解：如圖3，以A地為原點，以正東方向為x軸的正方向，以正北方向為y軸的正方向，以1個單位長度表示1km，建立平面直角坐標系，

根據A地在B地的正西方向，兩地相距1km，可確定點B在x軸上，它的坐標為（1，0）.

自點A畫出北偏東40°方向的線，白點B畫出北偏西50°方向的線，兩線的交點即為小島C所在的位置.度量圖中線段AC、BC、AB的長度，并以圖中線段AB的實際長度為1個單位長度進行同比例換算，可得AC≈0.64，BC≈0.77，從而可知小島C到A、B兩地的距離分別約是0.64km、0.77km.

上面的解答先利用坐標方法確定點的位置，再通過度量線段的長度并計算，解決了問題，這種方法在實際測量中也經常用到.

平面直角坐標系是數形結合的重要工具，我們在以后的學習中還會經常用到，希望同學們學好本章內容，不斷加深對坐標方法的認識.