隱藏的線性規(guī)劃

賴志新

【摘要】通過典型實(shí)例闡述七種類型隱藏的線性規(guī)劃，拓寬讀者各種隱藏的線性規(guī)劃問題的視野。

【關(guān)鍵詞】隱藏 不等式 最值 范圍 線性規(guī)劃

【中圖分類號(hào)】O1 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）03-0150-02

平時(shí)我們?cè)诮忸}中，會(huì)碰到一些與線性規(guī)劃看似無關(guān)卻有關(guān)的問題，即隱藏的線性規(guī)劃問題。我們識(shí)破它是否涉及線性規(guī)劃，就需要明確線性規(guī)劃可以解決怎樣的問題。當(dāng)問題涉及到受兩個(gè)變量限制的目標(biāo)函數(shù)的值域，最值，范圍，根據(jù)題意可列出有關(guān)這兩個(gè)變量的不等式（即約束條件）時(shí)，就可以考慮用線性規(guī)劃知識(shí)解答，下面舉例說明。

一、隱藏在數(shù)列中的線性規(guī)劃

在歷屆教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)在數(shù)列的常見問題里，幾乎見不到線性規(guī)劃的蹤影，如果數(shù)列中夾雜有線性規(guī)劃的知識(shí)在里面，同學(xué)們往往想不到。例如：等差數(shù)列{an}中，S4≥10，S5≤15，求a4的最大值。分析：乍一看此題，我們看不出此題會(huì)用線性規(guī)劃的知識(shí)解答，如果明白等差數(shù)列的項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn都與首項(xiàng)a1和公差d有關(guān)，結(jié)合線性規(guī)劃可以解決的問題，發(fā)現(xiàn)該題可列受兩個(gè)變量“a1和d”限制的約束條件和目標(biāo)函數(shù)，因此解答如下：設(shè)該等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則問題是求目標(biāo)函數(shù)a4=a1+3d的最大值，由已知可列出關(guān)于a1和d的不等式，即S■=4a■+■d≥10S■=5a■+■d≤15，這就轉(zhuǎn)化成了我們熟悉的線性規(guī)劃問題。老師用線性規(guī)劃知識(shí)啟發(fā)學(xué)生，學(xué)生很快能豁然開朗。

二、隱藏在函數(shù)性質(zhì)中的線性規(guī)劃

涉及應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性、奇偶性等函數(shù)性質(zhì)解決的抽象不式中若含有兩個(gè)未知數(shù)，要求取值范圍的問題也與這兩個(gè)未知數(shù)有關(guān)，往往就是考查線性規(guī)劃的問題。例： 定義在R上的函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)且為奇函數(shù)，若s，t滿足不等式f（s2-2s）≤-f（2t-t2），當(dāng)1≤s≤4時(shí)，求■的取值范圍。分析：本題涉及兩個(gè)變量s，t，利用抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可以脫去不等式中的“f”符號(hào)列出關(guān)于變量s，t的約束條件，而所要求取值范圍的東西也是有關(guān)這兩個(gè)變量s，t。已知條件中令z=■，則要求目標(biāo)函數(shù)z=■的取值范圍，目標(biāo)函數(shù)受兩個(gè)變量s，t的限制，關(guān)鍵看看由已知條件如何列出有關(guān)這兩個(gè)變量的不等式：因?yàn)閥=f（x）在R上是奇函數(shù)，所以f（s2-2s）≤-f（2t-t2）可化為f（s2-2s）≤f（t2-2t），又因?yàn)閥=f（x）在R上是減函數(shù)，所以f（s2-2s）≤f（t2-2t）可化為s2-2s≥t2-2t，把它整理變形得（s+t-2）（s-t）≥0，從而得關(guān)于s，t的約束條件為s-t≥0s+t-2≥0或s-t≤0s+t-2≤0這又轉(zhuǎn)化成了我們熟悉的線性規(guī)劃問題。