運用拉格朗日中值定理逆向巧解數學問題

孫娜

摘 要：該文主要研究了拉格朗日中值定理在數學問題中的巧妙應用。文章首先對拉格朗日中值定理進行證明，對拉格朗日中值定理的主要內容進行研究;其次，結合逆向思維，對拉格朗日中值定理處理極限問題、不等式問題、證明問題、函數問題等的方法進行研究，望為解決高等數學問題提供一定的參考。

關鍵詞：高等數學 ?拉格朗日中值定理 ?逆向思維 ?解題策略

中圖分類號：O178 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ? ?文章編號：1674-098X（2015）10（c）-0255-02

拉格朗日中值定理作為高等數學教學的重要組成部分，是溝通導數值與函數值之間的橋梁，是利用導數的局部性質推斷函數的整體性質的工具。只有把握拉格朗日中值定理的相關內容，合理運用中值定理，將其與數學問題緊密結合在一起，才能夠快速、正確解題，找到解題的捷徑。

1 拉格朗日中值定理及其證明

眾所周知，拉格朗日中值定理是高等數學中值定理中最重要的一個，能夠有效處理極限問題、數列問題、函數問題及證明問題，在高等數學中具有非常廣泛的應用，已經成為高等數學解題的重要路徑。

1.1 拉格朗日中值定理的主要內容

若函數f（x）滿足以下條件：（1）f（x）在閉區間[a，b]上連續;（2）f（x）在開區間（a，b）上可導，則函數f（x）在（a，b）內至少存在一點ξ，使得。除此之外，拉格朗日中值定理還可以表達成或。

1.2 拉格朗日中值定理的證明

在對拉格朗日中值定理進行證明的過程中可以適當利用羅爾中值定理，將其作為橋介，得出中值定理的相關內容，其具體證明如下：

依照拉格朗日中值定理形式做輔助函數。

當依照羅爾中值定理證明的過程中輔助函數必須滿足F（x）在閉區間[a，b]上連續;F（x）在開區間（a，b）上可導，且F（a）=F（b）。滿足以上條件后，由羅爾中值定理可知：

函數中至少存在一點ξ（a<ξ

除此之外，證明的過程中還可以選取其他方法構建輔助函數，通過羅爾中值定理對其進行證明，如直接構建輔助函數，同理可知輔助函數必須滿足在閉區間[a，b]上連續;在開區間（a，b）上可導，且==0。滿足以上條件后，由羅爾中值定理可知：

函數中至少存在一點ξ（a<ξ

2 逆向思維下拉格朗日中值定理的解題策略

拉格朗日中值定理解數學問題的過程中要把握好定理的限定條件，在上述基礎上逆向考慮定理與題目之間的關系，從定理出發構建與題目相關的函數，從而準確求解，快速得到相應的答案。

2.1 極限問題的求解

求解極限問題的方法非常多，如，夾逼定理、洛必達法則、泰勒公式等。這些方法在求解極限問題時操作較為簡單，思路非常清晰，解題難度較小，求解效果非常好。但對于一些較為復雜的極限問題，運用上述求解方法并不能夠快速、準確解題。在上述狀況下，可以適當選取拉格朗日中值定理，通過拉格朗日中值定理的結論將某些差式的極限轉化為求積式型的極限，對題目進行轉變，從而達到簡化。

運用拉格朗日中值定理求極限的時候要把握好拉格朗日中值定理與極限問題之間的關聯，要尋找兩者之間的連接點，做好式子的簡化，這樣才能夠快速解題。除此之外，求解過程中還要保證極限式符合拉格朗日中值定理的限定條件，防止解題失誤。

2.2 不等式問題的求解

不等式證明的過程中常通過構建函數，尋找函數與導數的關系進行求解，確定在某限定條件下函數成立，從而證明不等式。這種題型使用初等函數解法一般不能夠求解出來，但直接運用拉格朗日中值定理后非常簡單，能夠快速求解。

拉格朗日中值定理求解不等式或證明不等式時非常簡單，只需要依照定理構建符合拉格朗日中值定理條件的函數F（x）即可，然后依照中值定理的相應內容進行求證。

2.3 證明問題的求解

拉格朗日中值定理證明問題在當前的高等數學中非常常見。在對上述證明問題進行處理的過程中，要把握好拉格朗日中值定理的基本內容，要學會用逆向思維從題目回歸到定理，由題目尋找與定理相關的內容，追本溯源，從而將題目與拉格朗日中值定理聯系在一起，逆向尋找證明路徑，降低解題難度。

2.4 函數問題的求解

拉格朗日中值定理是函數與導數之間連接的重要內容。該定理將函數與導數結合在一起，對函數的性質進行了深入研究，可以全面分析函數在區間上的符號、單調性、一直連續性、凹凸性等，對函數整體和局部的把握具有至關重要的意義，是求解函數問題的重要方法。

函數問題求解的過程中要做好逆向分析，從拉格朗日中值定理及其求證出發對其與函數性質求證之間的關系進行分析，找出兩者的一致性。這樣才能夠快速、準確求證，對函數問題進行簡化，達到事半功倍的效果。但上述求證的過程中一定要注意輔助函數的構造，尋找最直接、最有效的輔助函數。

3 結語

拉格朗日中值定理在當前數學問題處理中具有非常廣泛的應用效益，已經成為高等數學教學的重要內容。在對上述定理進行把握的過程中，要運用好逆向思維，從定理本身出發對解題思路進行分析，徐徐漸進，將定理與題目結合在一起，靈活運用，找到合適的解題路徑。只有這樣，才能夠快速找到拉格朗日中值定理與題目之間的關聯，抓住本質，準確解題。

參考文獻

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