k元線性變換矩陣的研究

陳瑤 耿姝 朱佳梅

摘 要：隨著科技的發展，線性變換是高等代數研究的一個主要對象，也在數字信號處理領域里有著廣泛應用，如，DFT、DCT、WT等。在數字信號處理中，對解決數據的變換、量化過程中的誤差失真等具有重要的作用，非常適用于無真的數據處理，如，語音或圖像的無損壓縮。可見，線性變換的矩陣在電子信息領域有著廣闊的發展前景和重要的科學研究價值。該文主要研究元線性變換的矩陣表示，給出元線性變換、重矩陣的定義，導出元線性變換在一個基上的矩陣表示的定理并予以證明，最后結合線性變換的矩陣表示方法和性質指出其在高等代數學和在電子信息領域中的應用。

關鍵詞：線性變換 ?向量空間 ?矩陣 ?矩陣的跡 ?重矩陣

中圖分類號：O151 ? ? ? ? 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）10（c）-0244-03

線性變換是代數學的重要理論，線性變換的矩陣給維向量空間的線性變換以具體刻劃，使線性變換的運算轉化為矩陣的運算。反之，也把矩陣問題轉化為線性變換來處理，二者是同一事物的兩種表現形式。維向量空間的線性變換的全體構成的向量空間與數域上階矩陣全體構成的向量空間同構，將向量空間的問題轉換為矩陣的問題來處理是代數學的重要理論。數字信號處理中，原始數據是整型數據，而線性變換的變換系數通常是實數或復數，變換結果要量化為整型數據。在這過程中通常會產生誤差，且誤差會破壞變換的可逆性，因而不能保證使數據無失真恢復。針對這一問題，很多科學家進行了研究，其基本思想是分析線性變換的變換矩陣，將滿足條件的變換矩陣進行分解，使其能用一系列基本的整型可逆變換矩陣的乘積來表示，這樣就可以根據該線性變換構造一個與其性能相似且整型可逆線性變換理論分析及試驗結果表明，可逆線性變換的整型化會使變換后的數據的動態范圍最小[1]，非常適合于無真的數據處理。可見，線性變換的矩陣在電子信息領域有著廣闊的研究前景。

1 元線性變換的矩陣定義

定義1.1 設為維向量空間，是上的任意一組基，又設一變換，對于任意給定的的個向量，有

，其中為常數，.稱為上的元線性變換[2].

注：在某一組基下的元線性變換用表示。

定義1.2 設與是從個數中重復選取個數的兩個排列，如果存在：，使得，…，，，則稱小于。

從個數中重復選取個數的所有排列共有個，由定義對它們從小到大排序.由上述進行的個序組，來定義基排序。

定義1.3 設是數域上的維向量空間，是的一組基，是分別從中重復選取的個向量，若序組小于，那么則稱基序組小于基序組。

定義1.4 設是數域上的維向量空間，是的一組基，是的一個元線性變換，若任意一個基序組的像在基下的矩陣為，即

;

將作用在所有的基序組上，按定義1.3從小到大順序分別將所對應的矩陣按列方向排列，所組成的階矩陣，叫做元線性變換在基下的矩陣：

當時，與一元線性變換的矩陣相一致。

2 元線性變換的矩陣表示

首先給出重矩陣的定義：

定義2.1 設向量是中的任一向量，有

，

'為在基下坐標，

那么稱 的一階重矩陣;

二階重矩陣;

的重矩陣;

下面給出元線性變換在基下具體的矩陣表示。

定理：設為維向量空間，是上的任意一組基，是上的元線性變換，對任意給定上的個向量，有：

，;

定理證明：應用數學歸納法。

當時，即是一元線性變換。

設線性變換在基下的矩陣為，則

任意一個向量都有

;

其中為向量在基下的坐標，所以

結論顯然成立，且一元線性變換在基下的矩陣，

當時，設向量和，因為

，

，

則

其中，'為向量在基上的坐標，。

設，，則

現假定時成立，即

下面證明時也成立，由定義知

所以由假設

其中為階矩陣，，那么

……

。

定理成立，當，即

;

則元線性變換在基下的矩陣為。

3 線性變換矩陣的應用

線性變換的矩陣不僅在電子信息領域具有重要的作用，在代數學方面也應用廣泛，例如：求線性變換跡，由已知矩陣求線性變換，已知線性變換的矩陣求基的方法等。可見，線性變換的矩陣在科技領域有著廣闊的發展前景。

4 結語

研究元線性變換的矩陣表示，給出元線性變換和重矩陣的定義，進一步導出元線性變換矩陣的具體表示，通過對定理的證明，驗證結論是具有一定意義的，最后結合線性變換的矩陣的表示方法和性質指出線性變換的矩陣在高等代數學和在電子信息領域上的應用。

參考文獻

[1] Blvd.W.Montreal.Journal of computer science and technology[J].Quebec，1997.

[2] 張強.元線性變換的矩陣表示[J].工科數學，1997，13（4）：128-132.

[3] 張禾瑞，郝炳心.高等代數[M].北京：高等教育出版社，1997：264-275.

[4] 白述偉.高等代數選講[M].哈爾濱：黑龍江教育出版社，2000：238-245.

[5] David C.Lay.Linear Algebra and Its Applications[J].John Smith，1989.