圓錐與圓柱正貫極值點圖解分析

曲焱炎等

摘 要：文章利用兩種輔助面方法分析了正交的圓錐與圓柱相貫線的求解，必求出界定相貫線范圍的極限位置點。輔助平面法只能分析求解大部分極值點，得不到極右點。文章利用輔助球面法截圓錐和圓柱，截交線分別是兩相交圓周，正面投影為兩直線段。它們交點即為相貫線上點。利用球面越小與同軸等徑的圓柱相貫線越趨右的原理，得出最小球面為求得極右點的關鍵。同時給出了教材中正確解法的立體圖解釋。

關鍵詞：錐柱正交相貫線；極右點；輔助球面法；圖解分析；最小球面

1 概述

求兩回轉體的相貫線一直是畫法幾何教學的難點和重點，很多教材都以求正交圓錐和圓柱相貫線作為例題講給學生。但對于相貫線極值點的給出卻語焉不詳[1-2]，有的給出做法卻未分析其緣由[3-4]，有的竟給出錯誤解答[5-7]。教材在引導學生學習科學方法起著至關重要的作用，例題的給出一定要使學生知其然更能知其所以然。很多文獻也對此作了研究[8-9]，但均是推導出相貫線方程，利用微分求極值的方式給出答案[10-11]。在畫法幾何課堂教學，不適用長長的數學公式推導和微積分求解。文章就投影學的方法給出相貫線極右點的求解分析。

2 輔助平面法正交錐柱相貫線求解

下為很多教材出現的例題，求軸線正交的圓錐和圓柱相貫線，如圖1所示。圓柱與圓錐半貫，相貫線是一條封閉的、前后對稱的空間曲線。圓柱的軸線為側垂線，其側面投影積聚為圓，可根據相貫線的共有性，相貫線既在圓柱表面上又在圓錐表面。而圓柱表面上點側面投影都積聚在圓周上，所以相貫線側面投影也在圓周上。畫圖時不可能求出所有點的投影，只能求特殊點，這些特殊點要決定投影曲線的輪廓范圍和變化趨勢。特殊點包括相貫線極限位置點和曲面立體轉向輪廓線上的點。由此在側面投影可知其最高點1"、最低點2"和最前點3"、最后點4"。兩形體輪廓線的交點1′、2′是其正面投影。利用輔助平面法來求相貫線的水平投影和正面投影。如圖2所示，可以求出最前，最后點的水平投影。根據1′、2′和1"、2"可求得其水平投影1、2。在正面投影區域可以分析得出，Ⅱ點也是相貫線的最左點。

側面投影是相貫線的最右點的側面投影。求作方法是[3]：過圓柱側面投影圓圓心O"向圓錐側面投影輪廓線作垂線，與圓錐輪廓線相交于點m"，過點m"作輔助水平面R，則最右點ⅤⅥ屬于R平面，利用輔助平面R可求得其水平投影5、6和正面投影5′、6′。于是問題出現了，為何此作法，5′、6′就是相貫線的最右點呢？

3 正交錐柱相貫極值點的最小球面法原理

單純用輔助平面不能解釋此種做法之原理，而是需要利用輔助球面法來說明其意義。輔助球面法的作圖原理是：當回轉體的軸線通過圓球球心時，球與回轉體的相貫線為垂直于回轉體軸線的圓，當回轉體軸線平行于某投影面時，在該投影面上此圓的投影成直線。如圖3所示，當圓錐與圓柱為兩個軸線垂直相交的情況，以軸線相交點為球心，輔助球面與同軸圓錐相交截交線為垂直于軸線的圓（為水平面），與圓柱相交截交線同樣是圓（為側平面）。正面投影相貫線上點為兩截交線的交點7′（8′），即正面投影兩圓的積聚直線交點。水平投影為圓與積聚線的交點7、8。立體解如圖4所示。而且在相貫區域有最大球面（藍雙點畫線）和最小球面（紅雙點畫線）。圓錐、圓柱與最大輔助球面截交線的交點就為最左點。最右點的分析如下：當大小不同的輔助球面與圓柱面相交時，由于球心位置是相同的，球越小時，圓球與圓柱的截交線越靠右，如圖5所示。那么極限位置點就出現在最小球面與圓柱的截交線上。最小球面由與圓錐相切的位置來決定。所以由軸線交點所作圓錐輪廓線的垂線，球心到垂足的距離為最小球的半徑，如圖3中紅線部份所示。最小球面與圓錐的截交線即為圖1所示的過垂足所作輔助平面R與圓錐截交線，此截交線為一段優弧的圓周。它與圓柱素線相交點5'，6'就是柱錐正貫的最右點。

按照上述輔助法作圖步驟，求出特殊位置點和兩對一般位置點的正面和水平投影。根據側面點投影的連線順序光滑連接各點，正面投影為雙曲線的一支[12]。完整解如圖6所示，9，10點為給出兩個圓柱軸線下相貫線上一般位置點。

4 結束語

求解柱錐正貫的相貫線，輔助平面法可以分析求得除了極右點的其它極值點，無法得出最右點的位置。利用輔助球面法分別與圓錐和圓柱的截交線，利用三面相交得相貫線交點原理，可以求出相貫線上所有點投影。利用球面越小與同軸等徑的圓柱相貫線的位置越靠近右側，而且在與圓錐相貫的球面也有最大和最小的區域。最小球面是截交圓柱和圓錐交點的極右點。文章可以填充到教材內容中，給學生以確切的求解柱錐正貫極右點的幾何解釋。

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