投資組合優化策略問題研究

王璐 吳婧

[摘 要]在借鑒Markowitz投資組合均值方差模型的基礎上，為風險偏好不同的投資者設計了投資組合的復合模型：首先根據風險與收益的短期預測選擇股票種類，其次依據風險偏好確定投資組合收益與風險的優化比率，最后利用該優化比率配置有限資金以使效用最大化。

[關鍵詞]盈利與風險；投資組合；目標規劃；Markowitz的均值—方差模型

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2015.34.041

1 前 言

在證券投資中，收益和風險形影相隨，收益以風險為代價，風險用收益來補償。收益與風險的基本關系是：收益與風險相對應。風險較大的證券，其要求的收益率相對較高；反之，收益率較低的投資對象，風險相對較小。那么如何在一定的收益率下對市場上的股票進行組合投資，來保證風險最小、如何在投資者的承受范圍之內使得所投項目獲利最大、風險與收益率如何達到一個均衡狀態從而使得投資者獲利最大，經濟學家作了孜孜不倦的努力。

獲得諾貝爾經濟學獎的Markowitz于1952年提出的投資組合均值方差模型，是過去50年來金融理論發展的基石，其核心是把過去證券的平均收益作為未來投資的期望收益，把過去平均收益的方差作為未來投資的風險。“不要把雞蛋放在同一個籃子里”體現了投資組合理論的基本思想，也就是將多項風險資產組合到一起，可以對沖掉部分風險而不降低平均的預期收益率。

2 基于指數平滑法的單只股票收益率與風險率評價模型

在建立評價單只股票收益率與風險率評價模型之前，我們在綜合考慮各方面原因后首先做出如下假設：

第一，投資者在考慮每一次投資選擇時，其依據是某一段時間內股票收益的概率分布；第二，投資者的決定僅僅是依據股票的收益和風險，與其他外界因素無關；第三，整個市場沒有摩擦，即不存在交易成本和稅收；所有資產完全可分割，可交易；沒有限制性規定；信息成本為0；第四，短時期內所評估出的平均收益率，風險損失率在一定時間段內不會出現較大的改變且所購買的資產不進行買賣交易。

在股票投資過程中，往往更關心股票未來一定時間內的走勢。在選股進行投資組合時，除了根據現有的數據來對一只股票進行評價外，股票未來短時間內的走勢也對股票投資有著關鍵的影響，因此本模型中首先借助指數平滑法對股票未來一段時間內的收益率進行預測，然后結合預測值與現有數據對單只股票的收益率與風險率進行定量地評價。

2.1 指數平滑法[1]

指數平滑法是生產預測中常用的一種方法。也用于中短期經濟發展的預測。所有的預測方法中，指數平滑法是用得最多的一種。它是在移動平均法基礎上發展起來的一種時間序列分析預測法。一般有一次指數平滑法，二次指數平滑法和三次指數平滑法。

2.1.1 指數平滑公式

一次指數平滑：

2.1.2 初始值的確定

2.1.3 平滑系數的選擇

如對初始值有疑問，準確性差，α宜取較大值，以體現近期數據作用，降低初值影響；如外部環境變化較快，則數據可能變化較大，α值宜取大一些，以跟蹤過程變化（如取0.3～0.5）；如原始資料較缺乏，或歷史資料的參考價值小，α值宜取大一些；如時序雖然具有不規則變動，但長期趨勢較穩定（如接近某一穩定常數）或變化甚小，α值應較小（0.05～0.2）。

2.1.4 平滑次數的選擇

通常選用二次以上的指數平滑法。一般可根據原數列散點圖呈現的趨勢來確定，如呈現直線趨勢，選用二次指數平滑法；如呈現拋物線趨勢，選用三次指數平滑法；若經過二次平滑處理后曲線仍有曲率，則采用三次指數平滑法。

2.2 單只股票收益率與風險率評價模型

一般來說，公司投資股票的收益是一個隨機變量，在一段時間內，收益這個隨機變量可以用期望來衡量，除了考慮其期望值外，還不能忽略其風險，風險的衡量在這里我們采用了Markowitz的建議，即用收益的方差來衡量，方差越大，則說明實際收益與理論收益的偏離越大，風險也就越大，方差越小，說明實際收益基本在理論收益周圍波動，風險也就越小。為此，我們建立了評估N種股票收益率與風險損失率的模型如下：

單只股票的收益率：

Ri=[SX（]1[]n[SX）]（nj=1 rj），i=1，2，3，…N（9）

在上式中，Ri為單只股票一定時間內的收益率，即各個時間段收益率（包括利用指數平滑預測的時間段）的期望；rj表示某只股票第j個季度的凈資產收益率；n為單只股票選取的時間段的個數。

單只股票的風險損失率：

在上式中，Qi表示單只股票的風險損失率，即各個季度收益率的方差；rk表示某只股票第k個季度的凈資產收益率。

3 股票數目確定的投資組合模型

由上個模型我們可以得出五只股票近期n個時間段的收益率期望Ri與方差Qi，我們分別用期望與方差來作為評估收益率與風險損失率的標準，即假設前提下的短期內，各只股票的收益率用Ri衡量，風險損失率用Qi來衡量。

在以上前提下，我們對5種股票進行投資組合時，采用了Markowitz在1952年提出的均值—方差模型來進行股票組合。

第一步：求出五只股票的協方差，由于我們在假設中并未說明這五只股票是不相關的，因此在衡量總收益與風險之前應當求出其協方差尋求各只股票的相關程度，0表示不具備相關性，正數表示這兩只股票是正相關，即要盈利都可能盈利，要損失都可能損失，負數表示一個盈利則另一個可能損失；

第二步：建立投資組合的總收益模型與總風險模型，在此之前應當為各只股票分配不同的權重，設股票Si的權重為Xi（i=1，2，3，4，…，N），且X1+X2+…+XN=1，則：

總收益期望：

總風險：

第三步：建立目標優化模型，由于投資組合的目的是使總收益最大，總風險最小，這兩者往往是對立的，很明顯，所建立的目標優化模型的目標函數有兩個，即雙目標優化，為容易使模型求解，我們將雙目標優化模型簡化為三個模型分別為模型I（固定風險水平，優化收益），模型II（固定收益水平，優化風險），模型III（風險和收益按照一定比例進行優化）。

3.1 固定風險水平，優化收益[2]

該模型需公司確定所能接受的最大風險率a，在a確定的前提下對收益進行最大化，目標規劃函數如下：

3.2 固定收益水平，優化風險

該模型需公司確定所能接受的最小收益率b，在b確定的前提下對風險進行最小化，目標規劃函數如下：

3.3 風險和收益按照一定比例進行優化

該模型需要公司根據自身的投資特點，根據公司對收益和風險的重視程度劃分不同的權重，即收益和風險按照一定的比例進行規劃，這樣就可以把多目標規劃轉化為簡單的單目標規劃建立模型，這里設收益的比例為P，風險的比例為1-P，確定目標函數時，由于要求風險最低，收益最高，結合在一起可將目標函數設為風險減去收益的差值最小即可達到優化目的。目標規劃函數如下：

4 考慮系統風險的投資組合模型[3][4]

Markowitz投資組合模型的基本思想是如何選擇資產使在期望收益一定的情況下最大限度地減少風險或在所能承受的風險水平下最大限度地增加收益。而投資的風險和收益分別用方差和期望來度量。解決該問題要用到經濟學概念：系統風險。系統風險又稱市場風險，是影響所有資產的、不能通過資產組合而消除的風險，這部分風險是由那些影響整個市場的風險因素所引起的。這些因素包括宏觀經濟形勢的變動、國家經濟政策的變動、稅制改革等。它是指由于某種因素的影響和變化，導致股市上所有股票價格的下跌，從而給股票持有人帶來損失的可能性。系統風險的誘因發生在企業外部，上市公司本身無法控制它，其帶來的影響面一般都比較大。

那么既然風險可以降低到一個比較具體的值，在投資過程中盡可能使所選股票數量少而且股票的風險降到系統風險的情況下，使得投資的證券組合的收益率最大。

該模型需公司確定系統風險A，在A確定的前提下對收益進行最大化，目標規劃函數如下：

5 仿真分析

仿真背景：某公司擬將8000萬元人民幣投資于股票市場，現在準備根據股市數據選出具有投資前景的5只股票，現在需要確定如何將資金分配給5只股票使得收益最大，風險最小。

5.1 收益率與風險率的評定

首先，我們查詢了2014年8月1日當天股票指數行情，為了使投資獲得良好的收益，我們定性地從中抽取了5只具有良好走勢且其母公司具備較好發展前景的股票作為投資對象，分別是平安銀行（000001）、上海機場（600009）、中國神華（601088）、中興通訊（000063）、三一重工（600031），為了評估其收益率與風險損失率，我們忽略其他因素的影響，查閱了5只股近期5個季度的財務報告，得到了表1數據。

由表3可對這5只股票作出如下四點評估結果：第一，這5只股票中，股票S1即平安銀行近期以來一個季度平均收益率最高達到3.47%，股票S3即中國神華收益率低迷，一個季度平均收益率僅有0.559%；第二，這5只股票中，股票S5即三一重工近期以來風險率最高，達到了4.83%，股票S3即中國神華風險率最低，為0.0027%；第三，雖然S5三一重工在這幾只股票中的收益率處于較高水平，但是其風險卻大，股票收益呈現十分不穩定的狀態，S3中國神華的收益最低但其風險也最小；第四，為了使投資公司得到較高的股票收益且風險損失率保持較低水平，單單投資一只股票很難達到目的，為此，可使用投資組合的方式，即將這5只股票按照一定的比例進行投資，達到高收益、低風險的投資目標。

5.2 五種投資組合模型的求解及結果分析

模型I：固定風險水平，優化收益[5]

我們用Matlab求解該目標規劃，得出取不同的a值時收益的變化函數見圖1。

圖1 優化收益情況下風險——收益曲線

由圖1可以看出，當a大于0.00016時，收益隨著風險的增大緩慢變化，因此，若要在風險一定的情況下取得較大的收益，此時a應取轉折點處的值，即a=0.016%，此時的收益約為3.5%，而對應股票的各個權值見表4。

圖3、圖4和圖5中已經給出不同的P值的股票組合與收益情況，注意：P<0.8時，也即投資者對于風險不是特別重視的時候，風險與收益都保持不變，一旦投資者忽視風險時，風險與收益會發生較大的波動，巨大的潛在風險將會大大侵蝕收益率，收益率將會呈現階梯狀的減小。

6 結 論

為了更好地在實際中應用基于均值—方差的投資組合模型，在計算單只股票的收益率與風險率時，首先利用指數平滑法預測了短期內股票的走勢，根據現有數據與預測數據評估了單只股票的收益與風險，使評估結果具有可靠性與中短期時間內的有效性。在求解投資組合優化模型時，將所確立的雙目標規劃模型分解為3個單目標模型進行求解，計算方法比較全面地考慮了投資者的投資心理。仿真實例表明，本文所建立的模型可根據投資者追求收益或規避風險等不同的投資理念得到適合投資者個人投資理念的投資組合。

參考文獻：

[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數學建模[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.

[2]劉建軍.具有不確定收益的新的投資組合優化模型的研究[J].計算機科學，2011，38（5）.

[3]荊新，王化成，劉俊彥.財務管理學[M].北京：中國人民大學出版社，2012.

[4]王芳.基于模糊概率的Markowitz投資組合分散風險的理論及實證研究[J].統計與信息論壇：2008，23（5）.

[5]劉衛國.Matlab程序設計教程[M].2版.北京：中國水利水電出版社，2010.

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[7]錢駿洲，倪菁菁.馬克維茨投資組合模型的Matlab計算[J].中國市場，2013（17）.

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