“二元一次方程組”導學

田載今

人教版初中數學教科書第八章“二元一次方程組”的主要內容有：二元一次方程組的概念、二元一次方程組的解法、用二元一次方程組解決實際問題、三元一次方程組的解法.通過學習這些內容，同學們對方程的認識會從“一元”發展到“多元”，從單一的方程上升到由多個方程組成的方程組.

一、二元一次方程組是解決有兩個未知數的問題的數學工具

有些問題中只有一個未知數，我們可以用一元一次方程解決，例如，對于問題“一個數的2倍與5的和是25，這個數是幾”，我們可以列方程2x+5=25.一元一次方程是含一個未知數，且含未知數的項的次數都是1的整式方程，它是最簡單的方程.

有些問題中包含兩個未知數，且兩個未知數之間存在某種相等關系，要表示這種關系就要用含這兩個未知數的方程.例如，對于問題“一個數的2倍.虧另一個數的3倍之和是20，這兩個數分別是幾”，我們可以列方程2x+3y=20.這是含兩個未知數，且含未知數的項的次數都是1的整式方程，我們稱這樣的方程為二元一次方程，它的一般形式為ax+by=c，其中x、y是未知數，a、b、c是已知數，a、b不等于0，它們分別是x、y的系數.

有些問題中包含兩個未知數，且兩個未知數之間存在兩種相等關系，要表示這兩種關系就要用兩個含這兩個未知數的方程.例如，對于問題“籠中有雞和兔共40只，它們共有100只腳，雞、兔各有多少只”，我們可以設雞、兔分別有x只、y只，從而列出方程x+y=40和2x+4y=100，x和y要同時滿足這兩個方程，為此，我

二、消元是解方程組的基本策略

解方程組就是求方程組中各個方程的公共解，一般地，二元一次方程組中有兩個方程，含兩個未知數.

三、列方程組把產際問題轉化為數學模型

通過列方程可以把相等關系“翻譯”成等式，這樣建立數學模型是解決許多問題的好方法.如果問題中有兩個或更多個未知數，則問題中一般會有兩種或更多種相等關系制約這些未知數.我們可以根據這些相等關系列出方程組，這樣的方程組就是問題的數學模型.一口一口地吃”，未知數也要一個一個地求.解三元一次方程組的基本策略仍是消元，即把“三元”化為“二元”，再把“二元”化為“一元”.消元時可用代人消元法或加減消元法.同學們在解三元一次方程組時，要根據方程組的具體情況來確定先消去哪個未知數.消去一個未知數后，組成二元一次方程組繼續求解，解三元一次方程組與解二元一次方程組相比.只是步驟更多些，道理是一樣的.

隨著實際問題中未知數個數的增加，所用方程組的復雜程度也相應提高，但是簡單問題與復雜問題是相通的，化復雜為簡單是解決問題的基本策略.我國古人對方程組已有很深入的研究，他們對方程組解法的論述與現在線性代數中的做法基本一致.在《九章算術》這部古老的數學著作中，有關于用一次方程組解決實際問題的記載，其中一題為：

3捆上等谷，2捆中等谷，1捆下等谷，可打出39斗谷子；2捆上等谷，3捆中等谷，1捆下等谷，可打出34斗谷子；1捆上等谷，2捆中等谷，3捆下等谷，可打出26斗谷子.問：上、中、下等谷每擁各能打出多少斗谷子？（斗，舊制容積單位，l斗=10升）

利用三元一次方程組可以解決這個古老的問題，有興趣的同學不妨試一試，

學習了方程組以后，同學們可以很方便地分析和解決含多個未知數的問題，并體會到對方程的認識又深入了一些，預祝同學們通過學習本章知識，能在知識、能力、經驗等方面都有新收獲，能更好地掌握一次方程組這個重要的數學工具.