二元一次方程的整數(shù)解

黃細(xì)把

學(xué)習(xí)了二元一次方程后，我們知道，二元一次方程的解有無(wú)數(shù)個(gè).但是，我們?cè)诮鉀Q日常生活中的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，列出的二元一次方程，往往具有有限個(gè)整數(shù)解.

例1 （2014年衡陽(yáng)）某班組織活動(dòng)，班委會(huì)準(zhǔn)備把15元錢全部用來(lái)購(gòu)買筆記本和中性筆兩種獎(jiǎng)品，已知筆記本2元/本，中性筆1元/支，且每種獎(jiǎng)品都要有.有多少種購(gòu)買方案？請(qǐng)列舉所有可能的方案.

分析：要確定有幾種購(gòu)買方案，只需確定符合條件的購(gòu)買筆記本和中性筆的情況有幾種.

解：設(shè)應(yīng)購(gòu)買筆記本x本，中性筆y支.依題意，得2x+y=15，即y=15-2x.

由題意知x、y都是正整數(shù)，所以x=1時(shí)，y=13；x=2時(shí)，y=ll；x=3時(shí)，y=9；x=4時(shí)，y=7；x=5時(shí)，y=5；x=6時(shí)，y=3；x=7日寸，y=l.

故符合條件的購(gòu)買方案有7種，它們分別是：購(gòu)買筆記本1本，中性筆13支；購(gòu)買筆記本2本，中性筆11支；購(gòu)買筆記本3本，中性筆9支；購(gòu)買筆記本4本，中性筆7支；購(gòu)買筆記本5本，中性筆5支；購(gòu)買筆記本6本，中性筆3支：購(gòu)買筆記本7本，中性筆1支.

說(shuō)明：本題中購(gòu)買的是筆記本和中性筆兩種獎(jiǎng)品，x、y都是正整數(shù).

例2（2013年黃石）四川雅安地震期間，為了緊急安置60名災(zāi)民，需要搭建可容納6人或4人的帳篷.若所搭建的帳篷恰好（即不多不少）能容納這60名災(zāi)民，則不同的搭建方案有（）.

A.4種

B.6種

C.9種

D.11種

分析：要確定有幾種搭建方案，只需確定符合條件的搭建可容納6人或4人的帳篷的情況有幾種.

解：設(shè)搭建容納6人的帳篷x頂，容納4人的帳篷y頂，依題意，得6x+4y=60.

故符合要求的搭建方案有6種，一是搭建容納6人的帳篷O頂，容納4人的帳篷15頂：二是搭建容納6人的帳篷2頂，容納4人的帳篷12頂；三是搭建容納6人的帳篷4頂，容納4人的帳篷9頂：四是搭建容納6人的帳篷6頂，容納4人的帳篷6頂：五是搭建容納6人的帳篷8頂，容納4人的帳篷3頂：六是搭建容納6人的帳篷10頂，容納4人的帳篷0頂，應(yīng)選B.

說(shuō)明：本題中搭建的帳篷可以全是容納6人的帳篷，也可以全是容納4人的帳篷，還可以是既有容納6人的帳篷，又有容納4人的帳篷.

例3（2014年龍東）學(xué)校舉行足球聯(lián)賽，共賽17輪（即每隊(duì)均需參賽17場(chǎng)）.記分辦法是：勝l場(chǎng)得3分，平1場(chǎng)得1分，負(fù)1場(chǎng)得0分，在這次足球比賽中，小虎所在足球隊(duì)得16分，且踢平場(chǎng)數(shù)是所負(fù)場(chǎng)數(shù)的整數(shù)倍，則小虎所在足球隊(duì)所負(fù)場(chǎng)數(shù)的情況有（）.

A.2種

B.3種

C.4種

D.5種

分析：要確定小虎所在足球隊(duì)所負(fù)場(chǎng)數(shù)的情況有幾種，只需確定小虎所在足球隊(duì)所負(fù)場(chǎng)數(shù)和踢平場(chǎng)數(shù)有幾種符合條件的情況.

說(shuō)明：本題中小虎所在足球隊(duì)不可能全勝，根據(jù)踢平場(chǎng)數(shù)是所負(fù)場(chǎng)數(shù)的整數(shù)倍，且x、y都是正整數(shù)即可得解.

1.（2014年齊齊哈爾）將一張面值100元的人民幣，兌換成10元或20元的零錢，兌換方案有（）.

A.6種 B.7種 C.8種 D.9種

2.（2013年綏化）某班組織20名同學(xué)去春游，同時(shí)租用兩種型號(hào)的車輛，一種車每輛有8個(gè)座位，另一種車每輛有4個(gè)座位，要求租用的車輛不留空座，也不能超載，則有____種租車方案.

參考答案

1.A 2.2