《九章算術》中的二元一次方方程組

王慧

大自然充滿了未知，但人類用智慧架起了一座座從已知通向未知的橋粱，構筑了燦爛的科學文化.線性方程組及其求解，就是橋梁之一.

代數學發展的一個主要方向就是方程理論.自埃及祭司阿莫斯用象形文字寫下史上第一個一元一次方程后，相關理論研究逐漸向兩個方向延伸：增大未知數的次數，衍生出一元高次方程理論：增加未知項的個數，創造了線性方程組理論.值得驕傲的是，早在《九章算術》成書時代，中國古人已對較為復雜的線性方程組問題展開了研究，而西方的相關研究直至17世紀尚處于初級階段.

1.中國古代的線性方程組，

同學們從教科書上學到的“方程”術語源于英文Equation之翻譯（清代數學家李善蘭首澤），然而中國古代數學中的“方程”并非現代“含有未知數的等式”之含義，據成書早于《九章算術》的江陵張家山竹簡《算數書》記載，“方程”是由“程禾”算法發展而來的.“程禾”就是考核糧食作物的產量.在《九章算術》的“方程”章中，其前六題皆是測算糧食產量問題，如第一題：

今有上禾（上等稻）三秉（捆），中禾二秉，下禾一秉，實（谷子）三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗，上、中、下禾一秉各幾何？

劉徽在《九章算術》“方程”章開篇對“方程”詮釋道：

程，課程也.群物總雜，各列有數，總言其實，令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數程之，并列為行，故謂之方程.

其中“數”乃群物之數，即諸未知項的系數，“實”相當于常數項，“總”則暗示了等量關系，因而“方程”的每行都可以看作一個多元一次方程，“方程”各行聯立起來就組成了一個線性方程組.因此，中國古代的“方程”就是現在的線性方程組.

其他國家或民族給出聯立一次方程組的解法比中國晚不少年，如在印度最早出現在婆羅摩笈多（598-660）的著作《婆羅摩修正體系》之中，而歐洲最早提出三元一次方程組解法者是法國數學家布丟（1485-1572）.

2.《九章算術》中的二元一次方程組.

《九章算術》“方程”章中共計18道題目，其中關于二元一次方程組的有8道題，其中一題就是典型的二元一次方程組：

今有上禾七秉，損實一斗，益之下禾二秉，而實一十斗；下禾八秉，益實一斗與上禾二秉，而實一十斗.上、下禾實一秉各幾何？ 這里的“損實”就是減去，“益實”就是加上，故而“益實”和“損實”是一對具有相反意義的概念.同時在“術”中還給出移項的概念.

在《九章算術》中，多是采用分離系數法表示線性方程組，這相當于現在的矩陣表示（線性方程組系數用數表表示的形式）.而解線性方程組所使用的直除法，與矩陣初等變換一致（交換兩行位置，某行乘以非零數，兩行相加減）.另求解線性方程組時中國古人還運用了正負數的乘除法，這是世界數學史上的一項重大成就.盡管丟番圖在《算術》中，給出題目“已知兩數之和為100，之差為40，求兩數”，但在西方直到17世紀才由萊布尼茨提出完整的線性方程組解法法則.

此外，我國古典數學著作《孫子算經》《張丘建算經》《數書九章》《詳解九章算法》《九章算法比類大全》《算法統宗》等，也介紹了線性方程組的解法.清代數學家梅文鼎（1633-1721）的《方程論》共有90道線性方程組題，其中未知數個數最多達6，解法也多是利用加減消元法，關于著《方程論》的宗旨，梅文鼎曾給友人方中通（1633-1698）解釋道：“方子精西學，愚病西儒排西算，著《方程論》，謂雖利氏無以難.”其大意是，中國古代關于線性方程組的研究成果，是西方數學難以比擬的，故我們完全不必在“西儒”面前妄自非薄.