方程組與化歸方法

方程是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，從古到今始終如此.方程組作為方程的核心內(nèi)容之一，在方程家族中地位舉足輕重.

學(xué)習(xí)方程組，不僅有利于加深同學(xué)們對(duì)建模思想的理解，而且有利于同學(xué)們對(duì)化歸方法的掌握.

一、方程內(nèi)涵與解方程

對(duì)初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容之一的方程，國內(nèi)研究者在最近十多年曾進(jìn)行過堅(jiān)持不懈的研究，其結(jié)果表明，方程有兩個(gè)內(nèi)涵：

1.方程是一種特殊的數(shù)學(xué)模型，它刻畫了量與量之間的等價(jià)關(guān)系.（史寧中、孔凡哲）

2.方程是一種特殊的關(guān)系——為了求出未知，需要與已知“拉關(guān)系”，憑借已知找到未知.（張奠宙）

對(duì)于解方程，方法靈活多變.

二元一次方程組是將兩個(gè)等量關(guān)系（即兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的方程）聯(lián)立在一起.

如“雞兔同籠”問題，即“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足.問雉兔各幾何，”意思是說：有若干只雞、兔被關(guān)在同一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳，問籠中雞和兔各有幾只.

上述問題中，涉及“總頭數(shù)與35相等”“總腳數(shù)與94相等”兩個(gè)等量關(guān)系，而涵蓋的動(dòng)物是雞、兔，涉及雞的只數(shù)、兔的只數(shù)兩個(gè)量.

解決這個(gè)問題，首先需要尋找等量關(guān)系，并用數(shù)學(xué)語言描述出來；其次，用含有未知數(shù)的式子表達(dá)兩個(gè)等量關(guān)系，列出方程組：最后，解方程組，將含有兩個(gè)未知數(shù)的等量關(guān)系，設(shè)法轉(zhuǎn)化為僅含一個(gè)未知數(shù)的等量關(guān)系（即將二元一次方程組設(shè)法轉(zhuǎn)化為一元一次方程），再轉(zhuǎn)化為ax=b的形式，最終求出問題的解，其中，尋找等量關(guān)系并列出方程組就是建模思想的組成部分.

二、化歸方法

在學(xué)習(xí)方程相關(guān)內(nèi)容時(shí)，我們知道，解方程的根本方法在于化歸。

對(duì)于含有一個(gè)未知數(shù)的一元高次方程，則是設(shè)法轉(zhuǎn)化為若干個(gè)一次式、二次式之積的形式，通過降次，最終化歸為ax-b=0的形式，進(jìn)而求出相應(yīng)的解.

對(duì)于含有多個(gè)未知數(shù)的方程組，其解法的根本在于將多元化歸為一元.

化歸的渠道是多種多樣的.

對(duì)于多元一次方程組而言，化歸的主要方法在于消元，即將含有多個(gè)未知數(shù)的方程最終變成僅含有一個(gè)未知數(shù)的方程，這里的消元策略主要是代入消元與加減消元.

三、中考中的二元一次方程組

例2（2014年溫州）20位同學(xué)在植樹節(jié)這天共種了52棵樹苗，其中，男生每人種3棵，女生每人種2棵，設(shè)男生有x人，女生有y人，根據(jù)題意，列方程組正確的是（）.

分析與解：此題主要考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組的能力.找出題目中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

分析與解：此題考查了二元一次方程的解.將兩對(duì)x與y的值分別代入，得到新的二元一次方程組，解之即可求出m與n的值.

分析與解：此題主要考查了二元一次方程組的解法.解方程組的基本思想是消元，正確解方程組是解決本題的關(guān)鍵.