利用二次函數巧解生活中的實際問題

宋春梅

【摘 要】利用二次函數的性質解決實際問題是歷年中考的重點。解決這類問題時，通常先要建立變量之間的二次函數解析式，再利用二次函數的相關性質求解。

【關鍵詞】二次函數；實際問題；最大（小）值

應用數學思想來解決生活中的實際問題是學習數學的目的所在，而建立適當的數學模型來解決實際問題是生活中常用的手段。在現實生活中，我們往往會遇到一些復雜的實際問題，而這些實際問題所涉及的背景材料十分廣泛，包括社會、人文、科技、生活、生產等方面，有時很難抓住要領，不易直接用函數知識去觀察、分析、概括所給的實際問題。若將其轉化為數學問題并建立數學模型，則問題就容易解決了。

在函數中二次函數是解決實際問題的一個重要數學模型，利用二次函數的圖像和性質求函數的最大（小）值。此類題是各地中考的重難點，并經常作為壓軸題出現。在生活中我們經常會遇到利用二次函數求最大值或最小值的問題，例如下面的問題：

例1.某大學生利用暑假40天社會實踐參與了一家網店的經營，了解到一種成本為20元/件的新型產品在第x天銷售的相關信息如下表所示。

銷售量p（件） P=50-x

銷售單價q（元/件） 當1≤x≤20時，q=30+；

當21≤x≤40時，q=20+

（1）請計算第幾天該商品的銷售單價為35元/件？

（2）求該網店第x天獲得的利潤y關于x的函數關系式。

（3）這40天中該網店第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

分析：這是一道分段求函數的最大值的問題，學生在解題時往往考慮不全，把21≤x≤40這段函數的問題遺漏，只求1≤x≤20這段函數的問題及最大值。所以在教學時，教師一定要強調自變量的取值范圍及分段后的函數的增減性。

解：（1）當1≤x≤20時，令30+=35，得x=10.

當21≤x≤40時，令20+=35，得x=35.

即第10天或第35天該商品的銷售單價為35元/件

（2）當1≤x≤20時，y=（30+-20）（50-x）=-2+15x+500；

當21≤x≤40時，y=（20+-20）（50-x）=-525.

所以

當1≤x≤20時，

因為，所以當x=15時，y有最大值y1，且y1=612.5

當21≤x≤40時，因為26250>0

所以隨著x的增大而減小，所以當x=21時，最大。

于是，當x=21時，y=-525有最大值y2，且y2=-525=725

因為y1

所以這40天中第21天時該網店獲得的利潤最大，最大利潤為725元。

例2.某汽車租賃公司擁有20輛汽車，據統計，當每輛汽車的日租金為400元時，可全部租出；當每輛汽車的日租金每增加50元，為租出的汽車將增加1輛；公司平均每日的各項支出共4800元，設公司每日租出x輛汽車時，日收益為y元。（日收益=日租金收入-平均各日各項支出）

（1）公司每日租出x輛汽車時，每輛汽車的日租金為______元（用含x的代數式表示）

（2） 當每日租出多少輛時，租賃公司的日收益最大？最大是多少？

（3）當每日租出多少輛時，租賃公司的日收益不盈也不虧？

分析：（1）未租出的汽車有（20-x）輛，每輛汽車的日租金在400元的基礎上增加了50（20-x）元，所以每輛汽車的日租金為400+50（20-x）=（1400-50x）元

（2）根據日收益=日租金收入-平均每日各項支出，建立二次函數模型求解。

（3）日收益不盈也不虧即日收益為0，建立方程求解

解：（1）（1400-50x）

（2）y=x（-50x+1400）-4800

=-50x2+1400x-4800

=-50（x-14）2+5000

當x=14時，在0≤x≤20范圍內，y有最大值5000。

所以當每日租出14輛時，租賃公司的日收益最大，最大值為5000元

（3）要使租賃公司日收益不盈也不虧，即y=0。

所以-50（x-14）2+5000=0解得x1=24，x2=4。

因為x=24不合題意，舍去。

所以當每日租出4輛時，租賃公司的日收益不盈也不虧。

例3.某水果批發商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規定每箱售價不高于55元，市場調查發現，若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱，

（1）求平均每天銷售量y（箱）與售價x（元/箱）之間的函數解析式；

（2）求該批發商平均每天的銷售利潤w（元）與售價x（元/箱）之間的函數解析式

（3）當每箱蘋果的售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤為多少？

分析：（1）在每箱50元的基礎上銷售，當售價為x元時，則每箱提價（x-50）元；（2）利潤=（售價-進價）×箱數

解：（1）y=90-3（x-50），即y=-3x+240（50≤x≤55）

（2）w=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600.（50≤x≤55）

（3）W=3x2+360x-9600

因為a<0，所以拋物線開口向下，當x==60時，w有最大值，又x<60，w隨x的增大而增大，所以當x=55時，w有最大值為1125

所以當每箱蘋果售價為55元時，可以獲得1125元的最大利潤。

注意：求最大值時，要注意自變量的取值范圍及自變量的實際意義。

解答這類應用題的基本方法是設法把關于最大（小）值的實際問題轉化為二次函數的最大（小）值問題，然后按求二次函數的最大（小）值的方法求解，其基本思路是：

（1）理解問題的題意；

（2）分析問題中的變量和常量以及它們之間的關系；

（3）用數學方法表示它們之間的關系，用二次函數解析式表示實際問題中常量與變量之間的關系；

（4）將得到的二次函數通過配方化為y=a（x-h）?+k的形式，求出頂點坐標得出最大值或最小值；

（5）檢驗結果的合理性，判斷是否符合實際要求。