基于最小二乘法的弦振動的研究

張松鋒　張鴻輝　周小東

摘要：弦振動的研究是大學物理實驗中研究駐波的經典例子，對實驗數據的處理一般都是利用Origin軟件進行，用最小二乘法對數據進行處理比較少見。 本文利用最小二乘法對實驗數據進行處理，并用Origin進行線性擬合，結果表明：弦上橫波波長的對數和弦線張力的對數成線性關系，和Origin擬合結果相符；利用兩種方法計算波速時，誤差很小，只有質量在120g時誤差稍大，但也在允許的范圍內；振動的實際頻率和理論頻率和波速誤差相似。

關鍵詞：弦振動；最小二乘法；Origin；波速；頻率

中圖分類號：TP391 文獻標識碼：A文章編號：2095-2163（2015）06-

Abstract： String vibration research is the classical example of a standing wave in university physics experiment， the experimental data processing are generally using Origin software， using least square method are relatively rare. This paper using least square method to deal with the experimental data， and linear fitting with the Origin， the results showed that a linear relationship with logarithm of wavelength and string tension，whichagrees with Origin fitting results； Using two methods to calculate the wave velocity， the error is very small， only at 120 g larger quality， but also in allowed range； The error of actual frequency and theoretical is similar with wave velocity.

Keywords： String Vibration；Least Squares Method； Origin；Wave Velocity； Frequency

0 引言

物理學的幾乎每一個領域都涉及到波動的研究。 不同性質的波動傳播機制雖然各異，但卻具有共同的規律性，這種規律性可以用統一的數學表達式來進行提煉和呈現，所區別之處則在于數學公式中各個量所代表的物理意義不同[1]。物理學中有關波動的論述，大多以弦線上的駐波為例[2]。弦振動的研究是大學物理實驗中研究駐波最典型的例子，是幫助學生理解波的形成、傳播和干涉的一個重要實驗[3]。

基于當下成果的研究分析可知，很少有采用最小二乘法處理弦振動實驗數據的。 本文利用最小二乘法對實驗數據進行了處理，研究了弦上橫波的波長與弦線張力的關系，并與Origin擬合結果進行了對比， 對波速和頻率及其誤差也進行了計算。

1 實驗原理[1，4-5]

將細弦線的一端固定在電振音叉頂端，另一端繞過一個位置固定的滑輪懸掛砝碼。 當電振音叉以固有頻率f0振動時，適當調節細弦線的長度l，沿細弦線會產生一列向前傳播的橫波，橫波的振動頻率亦為f0，當橫波沿細弦線傳播到滑輪處時會產生一列反射波，此反射波的頻率、振幅與原波完全相同，原波與反射波在細弦線上發生干涉，實際在細弦線上觀察到的是兩列波相干涉疊加以后的波形。 當l正好等于弦上橫波半波長的整數倍時，即：

利用（4）式計算弦振動時的實際頻率，與理論頻率進行比較.

2 實驗內容及原始數據記錄

將砝碼質量依次取為20g、40g、60g、80g、100g、120g、140g、160g、180g、200g，調節細弦線的長度l，使弦線上出現振動情況穩定的駐波，記錄半波區的個數n值，用米尺測量l大小，測量5次，數據如表1所示。

3 數據處理及結果分析

3.1 驗證波長與張力的關系

根據實驗原理中所述公式，計算波長λ、lnλ和lnFT，如表2所示。

3.1.1 最小二乘法處理數據

根據最小二乘法處理數據的原理，設直線方程為y=a+bx，通過計算得出b=0.501169，a=-0.52878，關聯系數γ=0.999855。Eγ=0.0145%，Eb=0.2338%. 從結果上看，關聯系數接近于1，說明lnλ、lnFT具有良好的線性關系，b的數值和理論值1/2的誤差僅為0.2338%，在誤差允許的范圍內，說明實際值和理論值符合得較好。

3.1.2 Origin軟件處理數據[5]

打開Origin軟件后，界面上會出現兩列空白數據表格A（X）、B（Y），分別輸入表2中的lnFT和lnλ，以lnFT作為橫坐標X的數據，lnλ作為縱坐標Y的數據，通過Origin軟件進行線性擬合，結果如圖1所示，擬合報告如表3所示。

從圖1和表3中可以看出實際曲線和擬合曲線具有貼切良好的跟隨性，更加印證了lnλ和 lnFT是線性關系。 這和利用最小二乘法算出的結果是一致的。

3.2 波速和振動頻率的計算

利用（2）式計算V，利用（3）式計算V？，利用（4）式計算f，并計算EV和Ef，其中f0=100Hz。計算結果如表4所示。

利用Origin軟件作m-EV圖和m-Ef圖，分別以m為橫坐標，EV和Ef為縱坐標. 如圖2、圖3所示。

從表4和圖2、3中可以看出，兩種方法計算波速的誤差大部分都在1%以內，最低達到0.00878%，只有質量在120g時出現大于1%的情況，頻率的誤差和波速的誤差相似。 另外不同質量下EV和Ef幾乎相等，也很好的印證了兩種計算方法得出的結果是一致的. 即如果令V？=λf，EV的比值就是Ef的比值。

4 結束語

本文用最小二乘法對弦振動的實驗數據進行了處理，并用Origin對lnλ-lnFT進行線性擬合，計算結果和線性擬合結果呈現出優質的現實一致性，得出lnλ、lnFT具有良好的線性關系；用兩種方法計算波速，誤差大都在1%以內，當質量在120g時誤差較大，但也在允許范圍內；頻率的誤差和波速的誤差相似。

參考文獻：

[1] 吳定允，常加忠. 大學物理實驗[M]. 河南：河南科學技術出版社，2014：134-138.

[2] 趙艷，王春興. 弦線上的駐波研究[J]. 山東師大學報：自然科學版，2000，15（3）：320-321.

[3] 苗錕，黃育紅，李康等. 弦振動形成駐波的規律和數據的MATLAB處理[J]. 大學物理實驗，2010，23（4）：75-79.

[4] 崔群. “弦振動的研究”實驗強化偏微分方程的感性認知[J]. 鞍山師范學院學報，2014，16（6）：21-26.

[5] 李生仁，白瓊燕，楊軍等. 利用Origin分析弦振動形成駐波的規律[J]. 科技創新，2014，2月（上）：191-193.