函數及其圖象常見題型

徐永杰

從近幾年的高考試題來看，一次、二次函數圖象的應用是高考的熱點，重點考查數形結合與等價轉化、分類討論三種數學思想. 冪函數重點考查冪指數為1，2，3，[12]，-1時的情形.下面，筆者以近幾年的高考題為例歸納此部分內容的常見題型.

圖象的交點個數、范圍問題

例1 函數[f（x）=2lnx]的圖象與函數[g（x）=][x2-4x+5]的圖象的交點個數為（ ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

解析 作出函數[f（x）=2lnx]的圖象與函數[g（x）=][x2-4x+5]的圖象，結合[f（2）=2ln2=ln4>1=][g（2）]，如圖所示.

答案 B

例2 設函數[f（x）=1x]，[g（x）=ax2+bx（a，b∈R，][a≠b）]，若[y=f（x）]的圖象與[y=g（x）]的圖象有且僅有兩個不同的公共點[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，則下列判斷正確的是（ ）

A. 當[a<0]時，[x1+x2<0]，[y1+y2>0]

B. 當[a<0]時，[x1+x2>0]，[y1+y2<0]

C. 當[a>0]時，[x1+x2<0]，[y1+y2<0]

D. 當[a>0]時，[x1+x2>0]，[y1+y2>0]

解析 若[y=f（x）]的圖象與[y=g（x）]圖象有且僅有兩個不同的公共點，當[a<0]時，其圖象如圖.作出點[A]關于原點的對稱點[C，C]點的坐標為[（-x1，-y1）]. 由圖象知，[-x1y2]，故[x1+x2>0，y1+y2<0]，同理當[a>0]時，有[x1+x2<0，y1+y2<0].

答案 B

解讀 解決圖象交點問題時，首先是畫出對應函數的圖象（根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性和對稱性）.觀察圖象，結合零點的存在性定理和函數的單調性、對稱性、函數值變化速度等具體特征分析交點的個數和范圍.

函數零點、方程根的問題

例3 已知函數[fx=2-x， x≤2，x-22， x>2，] 函數[gx=b-f2-x]，其中[b∈R]，若函數[y=fx-gx]恰有4個零點，則[b]的取值范圍是（ ）

A. [74，+∞] B. [-∞，74]

C. [0，74] D. [74，2]

解析 由[fx=2-x， x≤2，x-22， x>2]得，

[f（2-x）=2-2-x，x≥0，x2， x<0.]

[則y=f（x）+f（2-x）=2-x+x2， x<0，4-x-2-x， 0≤x≤2，2-2-x+（x-2）2， x>2.=x2+x+2， x<0，2， 0≤x≤2，x2-5x+8，x>2.]

[y=f（x）-g（x）=f（x）+f（2-x）-b]，[y=fx-gx]恰 有4個零點等價于方程[f（x）+f（2-x）-b=0]有4個不同的解，即函數[y=b]與函數[y=f（x）+f（2-x）]的圖象的4個公共點，由圖象可知，[74