函數備考策略

王朝璇

【閱讀關鍵詞】 進入一輪復習，本期五篇文章從備考策略、技巧解讀、核心考點三個方面對函數部分加以分析，提示解題技巧和優化復習策略，提高同學們的復習效率.

函數是高中數學中極為重要的內容，函數的觀點和方法貫穿高中數學的始終. 下面分8個內容進行闡述.

函數的表達式

考點1 函數的概念

重點掌握函數的三要素.

考點2 函數的定義域

解題策略 建立使解析式有意義的不等式（組）求解，取交集時可借助于數軸.

易錯提醒 已知[f（x）]的定義域是[[a，b]]，求[f（g（x））]的定義域，是指滿足[a≤g（x）≤b]的[x]的取值范圍；而已知[f（g（x））]的定義域是[[a，b]]，指的是[x∈[a，b]].

考點3 求函數的解析式

解題策略 （1）配湊法：由已知條件[f（g（x））=F（x）]，可將[F（x）]改寫成關于[g（x）]的表達式，然后以[x]替代[g（x）]，便得到[f（x）]的表達式.

（2）換元法：已知復合函數[f（g（x））]的解析式，可用換元法.

（3）待定系數法：若已知函數的類型（如一次函數、二次函數），可用待定系數法.

易錯提醒 求函數的解析式時，一定要注意函數定義域的變化，特別是利用換元法求出的解析式，不注明定義域往往是錯誤的.

考點4 分段函數

解題策略 （1）對于根據分段函數解析式求函數值的問題：首先確定自變量的值屬于哪個區間，其次選定相應的解析式代入求解.

（2）對于已知函數值或函數值范圍求自變量的值或范圍的問題：應根據每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍.

函數的單調性和最值

考點1 函數單調性的判斷

解題策略 （1）利用定義（取值、作差或作商、變形、判斷）求解.

（2）利用導數判斷，但是對于抽象函數單調性的證明，只能采用定義法進行判斷.

考點2 求函數的單調區間

解題策略 （1）利用已知函數的單調性，即轉化為已知函數的和、差或復合函數，求單調區間.

（2）定義法：先求定義域，再利用單調性定義求解.

（3）圖象法：如果[f（x）]是以圖象形式給出的，或者[f（x）]的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調區間.

（4）導數法：利用導數取值的正、負確定函數的單調區間.

易錯提醒 單調區間只能用區間表示，不能用集合或不等式表示. 如有多個單調區間應分別寫出，不能用并集符號“∪”聯結，也不能用“或”聯結.

考點3 函數單調性的應用

解題策略 （1）對于比較大小的問題，先將自變量轉化到同一個單調區間內，然后利用函數的單調性解決.

（2）對于解不等式問題，在求解與抽象函數有關的不等式時，往往是利用函數的單調性將“[f]”符號脫掉，使其轉化為具體的不等式求解.

（3）利用單調性求最值，應先確定函數的單調性，然后再由單調性求出最值.

函數的奇偶性和周期性

考點1 函數奇偶性的判斷

解題策略 判定函數奇偶性的常用方法：定義法和性質法，注意性質法. （1）“奇+奇”是奇，“奇-奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；（2）“偶+偶”是偶，“偶-偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；（3）“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇.

易錯提醒 （1）判斷函數是否具有奇偶性時，首先要考慮定義域關于原點對稱，否則是非奇非偶函數.

（2）“性質法”中的結論是在兩個函數的公共定義域內才成立的.

考點2 函數的周期性

解題策略 判斷函數周期性的兩個方法：定義法和圖象法.

掌握周期性三個常用結論：對[f（x）]定義域內任一自變量[x]的值，（1）若[f（x+a）=-f（x）]，則[T=2a]；（2）若[f（x+a）=1f（x）]，則[T=2a]；（3）若[f（x+a）=-1f（x）]，則[T=2a].（以上均有[a>0]）

易錯提醒 應用函數的周期性時，應保證自變量在給定的區間內.

考點3 函數性質的綜合應用

解題策略 （1）函數單調性與奇偶性結合. 注意函數的單調性和奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖象的對稱性.

（2）周期性與奇偶性結合. 此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性和周期性進行交換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解.

（3）周期性、奇偶性與單調性結合. 解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區間，然后利用奇偶性和單調性求解.

函數的圖象

考點1 作函數的圖象

解題策略 （1）直接法：當函數表達式（或變形后的表達式）是熟悉的基本函數時，就可根據這些函數的特征直接作出.

（2）圖象變換法：平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換.

考點2 識圖和辨圖

解題策略 （1）定性分析法：通過對問題進行定性分析，從而得出圖象升或降的趨勢，利用這一特征解決問題.

（2）定量計算法：通過定量的計算來解決問題.

（3）函數模型法：由所提供的圖象特征，聯想相關函數模型，利用這一函數模型來解決問題.

考點3 函數圖象的應用

解題策略 （1）利用函數的圖象研究函數的性質，一定要注意其對應關系. 如：圖象的左、右范圍對應定義域；上、下范圍對應值域；上升、下降趨勢對應單調性；對稱性對應奇偶性.

（2）有關方程解的個數問題常常轉化為兩個熟悉的函數的圖象交點個數問題，利用此法也可由解的個數求參數值.

（3）有關不等式的問題常常轉化為兩函數圖象的上、下關系來解決.

二次函數和冪函數

考點1 冪函數的圖象和性質

掌握冪函數的圖象和性質.

考點2 求二次函數的解析式

解題策略 根據已知條件確定二次函數解析式，一般用待定系數法，選擇規律如下：（1）已知三個點坐標，宜選用一般式；（2）已知頂點坐標、對稱軸、最大（小）值等，宜選用頂點式；（3）已知圖象與[x]軸兩交點的坐標，宜選用零點式.

考點3 二次函數的圖象和性質

解題策略 （1）二次項系數含參數的二次函數、方程、不等式問題，應對參數分類討論. 分類討論的標準就是二次項系數與0的關系.

（2）當二次函數的對稱軸不確定時，應分類討論. 分類討論的標準就是對稱軸在區間的左、中、右三種情況.

（3）求解過程中，求出的參數的值或范圍并不一定符合題意，因此要檢驗結果是否符合要求.

指數函數和對數函數

考點1 指數、對數的化簡和求值

解題策略 變形后根據性質進行運算.

考點2 指數函數和對數函數的圖象及應用問題

解題策略 （1）畫指數函數[y=ax（a>0，a≠1）]和對數函數[y=logax]的圖象時，抓住關鍵點.

（2） 注意圖象的平移和對稱變換.

考點3 指數函數和對數函數的性質及應用問題

解題策略 （1）比較大小問題，常利用指數函數和對數函數的單調性及中間值（0或1）求解.

（2）解決指數函數和對數函數的綜合問題時，要把指數函數、對數函數的概念和性質同函數的其他性質結合起來，同時要特別注意底數不確定時，對底數的分類討論.

（3）一些指數、對數型方程和不等式問題常轉化為函數圖象問題，利用數形結合法求解.

易錯提醒 解決指數函數和對數函數綜合問題時，無論是討論函數的性質，還是利用函數的性質，都要注意：（1）無論研究函數的什么性質或利用函數的某個性質，都要在其定義域上進行；（2）如果需要將函數解析式變形，一定要保證其等價性，否則結論錯誤.

函數與方程

考點1 函數零點區間的判定

解題策略 （1）利用函數零點的存在性定理：首先看函數[y=f（x）]在區間[[a，b]]上的圖象是否連續，再看是否有[f（a）·f（b）<0]. 若有，則函數[y=f（x）]在區間[（a，b）]上必有零點.

（2）數形結合法：通過畫函數圖象，觀察在給定區間上圖象與[x]軸是否有交點來判斷.

考點2 判斷函數零點的個數

解題策略 （1）解方程法：若對應方程[f（x）=0]可解時，通過解方程，有幾個解就有幾個零點.

（2）零點存在性定理法：不僅要判斷函數在區間[[a，b]]上是連續不斷的曲線，且[f（a）·f（b）<0]，還必須結合函數的圖象與性質（如單調性、奇偶性、周期性、對稱性）才能確定函數有多少個零點.

（3）數形結合法：轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題. 先畫出兩個函數的圖象，看其交點的個數，其中交點的個數，就是函數零點的個數.

考點3 函數零點的應用

解題策略 （1）直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍.

（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決.

（3）數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后利用數形結合求解.

函數模型及其應用

考點1 用圖象刻畫實際問題中兩變量的變化

解題策略 （1）構建函數模型法：根據題意容易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選圖象.

（2）驗證法：當根據題意不易建立函數模型時，則根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案.

考點2 應用所給模型解決實際問題

解題策略 （1）認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數.

（2）根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數.

（3）利用該模型求解實際問題.

考點3 構建函數模型解決實際問題

解題策略 （1）審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型.

（2）建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識建立相應的數學模型.

（3）解模：求解數學模型，得出數學結論.

（4）還原：將數學問題還原為實際問題的意義.

易錯提醒 注意問題反饋. 在解決函數模型后，必須驗證這個結果在實際問題中的合理性.