橫看成林側成峰，一題多解格不同

王榮

在高三復習中，對高考題或練習中的經典題進行研究，恰當而又適量地采用一題多解，對解題思路多層次分析，多角度審視，探討解題規律，能“以少勝多”地鞏固基礎知識，提高分析問題和解決問題的能力，掌握基本的解題方法和技巧.本文以2015年新課標Ⅰ卷第12題為例，從以下幾個角度進行分析探討.

例 設函數[fx=ex2x-1-ax+a]，其中[a<1]. 若存在惟一的整數[x0]，使得[fx0<0]，則實數[a]的取值范圍是（ ）

A. [-32e，1] B. [-32e，34]

C. [32e，34] D. [32e，1]

這是一道非常優秀的試題，作為選擇題，在考場上，我們應該采取小題小做的策略，以節約時間，達到事半功倍的效果.然而，在高三復習備考的解題教學中，我們可以多角度地剖析這道試題，讓其發揮更大的功效.

分析1 特殊值法，因題中已有[a<1]的條件，結合選擇題只有一個正確選項與題中的選擇支，取[a=0]和[a=34]排除ABC，從而得正確答案.

解1 （1）令[a=0]得，[fx=ex2x-1]，

故[f0=-1<0]，[f-1=-3e-1<0]，這與題設條件矛盾，排除選項AB.

（2）再令[a=34]得，[fx=ex2x-1-34x+34]，則[fx=ex2x+1-34].

當[x<-12]時，[fx<0]，

當[x>0]時，[fx>f0=14>0]，

即[fx]在[-∞，-12]上是減函數，在[0，+∞]上是增函數，

故當[x≤-1]時，[fx≥f-1=32-3e>0]，

當[x≥1]時，[fx≥f1=e>0]，且[f0=-14<0].

滿足題意，由此排除選項C.

答案 D

點撥 特殊值法解選擇題能事半功倍，但對特殊值的選擇比較難把握，而且有時候選擇的特殊值不一定真正的能達到簡化的目的，也不易于把握題目的本質.

分析2 從題干出發，通過計算[f0]與[f-1]發現，可先對參數[a]分類討論，再利用導數研究函數[fx]的性質，進而根據已知條件得出答案.

解2 （1）當[a<32e]時，可得[f0=-1+a<0]，[f-1=2a-3e<0]，這與題設條件不符，舍去.

（2）當[32e≤a<1]時，

得[fx=ex2x+1-a]，[fx=ex2x+3].

若[x<-32]，則[fx<0].

若[x>-32]，則[fx>0].

從而[fx]在[-∞，-32]上是減函數，在[-32，+∞]上是增函數.

又當[x→-∞]時，有[ex2x+1→0.]

且當[x<-12]時，有[ex2x+1<0]成立；

當[x>-12]時，有[ex2x+1>0]成立.

故存在[t∈-12，0]，使得[ft=0].

因此，若[x若[x>t]，則[fx>0].

所以[fx]在[-∞，t]上是減函數，在[t，+∞]上是增函數.

且[f0=-1+a<0]，[f1=e>0].

由“存在惟一的整數[x0]，使得[fx0<0]”得，

[f-1=2a-3e≥0]，解得[a≥32e].

綜上所述，實數[a]的取值范圍是[32e，1].

答案 D

點撥 用直接法研究函數的性質，對參數分類討論獲得結果，此法的難點在于分類標準的確定、導函數符號的確定以及存在性問題的等價轉化.

分析3 由題意得，“存在惟一的整數[x0]，使得[ex02x0-1-ax0+a<0]成立”等價于“存在惟一的整數[x0]，使得[ex02x0-1

綜上所述，實數[a]的取值范圍是[32e，1].

答案 D

點撥 利用分離參數法研究本題，易錯點在于對變量[x0]分類之后的等價變形.

分析4 當[x≠12]時，本題也可以研究參數[a]對函數[y=ex]與[y=ax-12x-1]的圖象的相對位置關系的影響，再根據題設條件求解.

解4 由題意得，“存在惟一的整數[x0]，使得[ex02x0-1（1）當[x0>12]時，（*）[?]存在惟一的整數[x0]，使得[ex0