函數的概念，有“你”更精彩

李秀蘭

函數的概念是學習函數的基礎，函數是高中數學的核心內容。讓我們一起來了解“函數”吧。

一、函數的概念，精彩紛呈

設A，B是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中郁有唯一的元素y和它對應，那么這樣的對應叫做從A到B的一個函數，通常記作y=f（x），x∈A，其中所有的輸入值x組成的集合A叫做函數y=f（x）的定義域。

需要注意的是：（1）函數y=f（x）也經常寫作函數f（x），在函數關系式中，函數的定義域為全體實數時可以省略不寫，如函數y=2x+l（x∈R）往往寫成y =2x+1。（2）對y=f（x）即“y是x的函數”的理解：x是自變量，它是對應法則所施加的對象，f是對應法則，它可以是一個或幾個代數式，可以是圖像、表格，也可以是文字描述；y是自變量的函數，當x為允許的某一具體值時，相應的y值為該自變量值相對應的函數值。

例1 下列對應是從A到B的函數的是____。

（1）A=R，B={x|x>0}，對應法則f：x→|x|。

（2）A=Z，B=N，對應法則f：A→B，求平方。

（3）A=Z，B=Z，對應法則f：A→B，求算術平方根。

（4）A=[-2，2]，B=[-3，3]，對應法則f：A→B，求立方。

解：可結合函數的定義來判斷。

（1）不是函數，A中的元素0在B中沒有元素與它對應。

（2）是函數，符合函數的定義。

（3）不是函數，A中的負數沒有算術平方根，可知B中沒有元素與它對應。

（4）不是函數，集合A中的元素2，求立方后不在集合B中，可知在B中無元素與它對應。

答案為（2）。

評注：判斷一個對應關系是否為函數關系，除構成對應的兩個集合是數集外，更重要的是判斷任意給定的x值是否有唯一的y值與之對應，即“取元的任意性，取值的唯一性”，這是判斷一個對應關系是函數關系的重要依據。

二、函數的定義域，理解是關鍵

函數的定義域主要是通過解不等式（組）來獲得的，若不加以說明，所謂函數的定義域就是使函數表達式有意義的輸入值的集合。

例2 求下列函數的定義域：

評注：求函數的定義域往往需要將問題轉化為解不等式或不等式組。函數的定義域可以用集合表示，也可以用區間表示。

例3 （1）已知函數f（x）的定義域為[1，3].求函數f（2x+1）的定義域。

（2）已知函數f（2x+1）的定義域為[1，3]，求函數f（x）的定義域。

解：本題屬于復合函數的定義域問題。若函數y=f（t），t=g（x），則稱函數y=f[g（x）]為復合函數，而該函數的定義域是由y=f（t），t=g（x）共同決定的，可認為在對應法則f的作用下，g（x）是在y=f（t）的定義域內取值的。

（1）函數f（x）的定義域為[1，3]，即x∈[1，3]

函數f（2x+1）中的2x+l的范圍與函數f（x）中的x的范圍相同，則l≤2x+1≤3，即0≤x≤1，可得f（2x+1）的定義域為[0，1]。

（2）由x∈[1，3]，可得2x+1∈[3，7]，即函數f（x）的定義域是[3，7]。

評注：在解決上述問題中要注意作用對象的范圍，從而正確求出函數的定義域。