一道彈簧問題的變式訓練

胡冰琳

【摘要】彈簧問題是高考考查的熱點，通過一題多變把看似不同類型的彈簧問題進行整合，達到做一題通一類題目。

【關鍵詞】彈簧問題 ?變式訓練

【中圖分類號】G633.7 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）08-0128-01

彈簧問題是高考考查的熱點，在一道題目中往往考查的知識點很多，學生在解這類問題感到困難，甚至無從下手。本人在高三復習課中為學生設計了一堂習題課，通過這堂習題課的教學能夠讓學生對看似不同類型的問題進行整合，從而達到對彈簧問題的應用，達到做一題通一類題目，也避免搞題海戰術，又能提高學習效率。

例：一彈簧秤秤盤的質量不計，盤內放一質量M=12 kg的物體P，輕彈簧的勁度系數k=800 N/m，整個系統處于靜止狀態，如圖1 所示。現給P施加一個豎直向上的力F，使P從靜止開始向上做勻加速直線運動，已知在最初0.2 s內F是變化的，在0.2 s后是恒定的，求F的最大值和最小值。（取g=10 m/s2）

解 ?設初始時刻彈簧壓縮x0

kx0=Mg ? ? ①

對于0～0.2 s時間內P的運動有

x0=at2 ? ?②

聯立①②代入數據的a=7.5m/s2

在初始位置，拉力最小Fmin=Ma=90N

在彈簧原長，拉力最大Fmax=M（g+a）=210N

點評：本題由于秤盤不計質量，物體P與秤盤在彈簧原長分離。從題中可挖掘出在0.2s內F是變力，0.2s后是恒力，再利用運動學和牛頓第二定律求解。

變式1：一彈簧秤秤盤的質量m1=1.5kg，盤內放一質量m2=10.5kg的物體P，彈簧的質量不計，其勁度系數k=800N/m，整個系統處于靜止狀態，如圖1 所示?，F給P施加一個豎直向上的力F，使P從靜止開始向上做勻加速直線運動，已知在最初0.2 s內F是變化的，在0.2 s后是恒定的，求F的最大值和最小值.（取g=10 m/s2）

解： 初始時刻彈簧的壓縮量為X0

kx0=（m1+m2）g ? ?①

設秤盤上升高度x時P與秤盤分離，分離時刻有

k（x0-x）-m1g=m1a ? ?②

對于0～0.2 s時間內P的運動有：

x=at2 ? ? ③

聯立①②③解得x=0.12m，a=6m/s2

故在初始位置處，拉力有最小值Fmin=（m1+m2）a=72N

分離時刻拉力達到最大值Fmax=m2（g+a）=168N

點評：本題的變式變在由于秤盤有質量，物體P與秤盤的分離點在彈簧的壓縮階段，要抓住分離的臨界點為物體P和秤盤的相互作用力為零。

變式2：如圖2所示，木塊A、B的質量分別為0.42kg和0.40kg，A、B疊放在豎直輕彈簧上，彈簧的勁度為k=100N/m。今對A施加一個豎直向上的拉力F，使A由靜止開始以0.50m/s2的加速度向上做勻加速運動（g=10m/s2）。求：⑴勻加速過程中拉力F的最大值。⑵如果已知從A開始運動到A與B分離過程，彈簧減少的彈性勢能為0.248J，那么此過程拉力F對木塊做的功是多少？

解析：設A、B疊放在彈簧上處于平衡時彈簧的壓縮量為x

kx=（mA+mB）g ? ?①

對A施加F，設A、B之間的彈力為N，彈簧壓縮xB

對A ?F+N-mAg=mAaA ? ? ? ②

對B ?kxB-N-mBg=mBaB ? ? ③

可知，當N≠0時，AB有共同加速度。由②式可知使A勻加速運動，隨N減小F增大。當N=0時，F取得了最大值Fm

即Fm=mA（g+aA）=4.41N

當N=0時，A、B開始分離，由③式知此時，

kxB-mBg=mBaB ? ④

AB共同速度v2=2aA（x-xB） ? ? ⑤

設F做功W，對這一過程應用動能定理

W+Ep-（mA+mB）g（x-xB）=（mA+mB）v2 ? ?⑥

聯立①④⑤⑥解得W=9.64×10-2J

點評：本題的變式變在增加用能量的觀點求力F做的功。

變式3 ： 如圖3所示，一質量為m的物塊A與直立輕彈簧的上端連接，彈簧的下端固定在地面上，一質量也為m的物塊B疊放在A的上面，A、B處于靜止狀態。若A、B粘連在一起，用一豎直向上的拉力緩慢上提B，當拉力的大小為時，A物塊上升的高度為L，此過程中，該拉力做功為W;若A、B不粘連，用一豎直向上的恒力F作用在B上，當A物塊上升的高度也為L時，A與B恰好分離。重力加速度為g，不計空氣阻力，求：

（1）恒力F的大小;

（2）A與B分離時的速度大小。

解：設彈簧勁度系數為k，A、B靜止時彈簧的壓縮量為x，2mg=kx ? ?①A、B粘連在一起緩慢上移，以A、B整體為研究對象，當拉力時+k（x-L）=2mg ? ?②

A、B不粘連，在恒力F作用下A、B恰好分離時，以A、B整體為研究對象，根據牛頓第二定律

F+k（x-L）-2mg=2ma ? ③

以B為研究對象，根據牛頓第二定律F-mg=ma ? ?④

聯立①②③④解得F=mg ? ?⑤

（2）A、B粘連在一起緩慢上移L，設彈簧彈力做功為W彈，根據動能定理

W+W彈-2mgL =0 ? ⑥

在恒力F作用下，設A、B分離時的速度為v，根據動能定理 FL+W彈-2mgL=2mv2 ? ?⑦

聯立⑤⑥⑦解得v=

點評：本題變式變在A、B兩物體存在粘連和不粘連兩個過程，針對兩個過程會綜合運用平衡知識，牛頓運動定律和功能關系進行求解。

從上面4個題目中，我們可以看到在看似不同的彈簧類習題中會出現相同的解題思路，在平時的課堂教學中我們有意識地加強這方面習題的講解，可以讓學生跳出題海，提高學習效率，同時也能夠由淺入深，在茫茫的題海中找到一些解題技巧，提高學生的學習興趣。