例談二階導(dǎo)數(shù)在求解高考函數(shù)壓軸題中的優(yōu)越性

【摘要】“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”是歷年高考的常考題型，也是壓軸題，其主要考查考生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及不等式恒成立等問題。而在部分高考試題中，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)后，并不能較清晰、快速的判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而難以判斷函數(shù)的單調(diào)性，而若繼續(xù)對(duì)導(dǎo)函數(shù)再求導(dǎo)，利用二階導(dǎo)數(shù)研究一階導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而解決問題則較為容易。本研究以幾道高考函數(shù)壓軸題為例，展現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)在解決此類問題中的優(yōu)越性。

【關(guān)鍵詞】二階導(dǎo)數(shù) ?高考 ?函數(shù)壓軸題

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）08-0098-01

一、例1.（2015年新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ理數(shù)，21題）設(shè)函數(shù)f（x）=emx+x2-mx.

（Ⅰ）證明：f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增;

（Ⅱ）若對(duì)于任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤e-1，求m的取值范圍。

解：（Ⅰ）解法一：f'（x）=m（emx-1）+2x。

（1）若m≥0，則當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，emx-1≤0，f'（x）<0;當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，emx-1>0，f'（x）>0.（2）若m<0，則當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，emx-1>0，f'（x）<0;當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，emx-1<0，f'（x）>0.所以，f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增。

解法二：由解法一，f''（x）=m2emx+2.∵f''（x）>0恒成立，∴f'（x）在R上為增函數(shù)。又∵f'（0）=0，∴當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f'（x<0）;當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）>0。即f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增。

（Ⅱ）略。

兩種解題方法相比，方法二利用二階導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，避開了對(duì)m的分類討論。

二、例2.（2013年新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ理數(shù)，21題）已知函數(shù)f（x）ex-ln（x+m）。

（Ⅰ）設(shè)x=0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性;

（Ⅱ）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）>0。

解：（Ⅰ）由x=0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)可得m=1。于是f（x）=ex-ln（x+1），定義域?yàn)椋?1，+∞），f'（x）=ex-，f''（x）=ex+。∵f''（x）>0，∴f'（x）在（-1，+∞）單調(diào)遞增。又∵f'（0）=0，∴當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f'（x<0）;當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）>0。

所以f（x）在（-1，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增。（Ⅱ）略。

此題中，對(duì)一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)是難以判斷的，利用二階導(dǎo)數(shù)則顯得清晰易懂。

三、例3.（2010年全國(guó)Ⅰ理數(shù)，20題）已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-x+1。

（Ⅰ）若xf'（x）≤x2+ax+1，求a的取值范圍;

（Ⅱ）證明：（x-1）f（x）≥0。

解：（Ⅰ）略.（Ⅱ）方法1：由（Ⅰ）可得lnx-x+1<0。

當(dāng)0

方法2：f'（x）=■+lnx，f''（x）=-■+■=■.令f''（x）=0得x=1.

∴當(dāng) x∈（0，1）時(shí)，f''（x）<0，f'（x）單調(diào)遞減;當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f''（x）>0，f'（x）單調(diào)遞增。∴f'（x）在x=1處取得最小值，且f'（1）=1>0，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增。

∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）f（1）=0.∴（x-1）f（x）≥0.

兩種方法相比，方法1是通過巧妙性地構(gòu)造條件，然后運(yùn)用（Ⅰ）的結(jié)論，但此法卻較為困難，而若利用二階導(dǎo)數(shù)來解決，則解題思路更加清晰，更加容易理解。

四、例4.（2010年新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ理數(shù)，21題）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2。

（Ⅰ）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（Ⅱ）若當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，求a的取值范圍。

解：（Ⅰ）略.（Ⅱ）f'（x）=ex-1-2ax，f''（x）=ex-2a.∵x≥0，∴ex≥1.

當(dāng)2a≤1，即a≤時(shí)，f''（x）≥0，f'（x）單調(diào)遞增，且f'（x）≥f（0）=0，∴f（x）單調(diào)遞增，且f（x）≥f（0）=0。當(dāng)2a≥1，即a≥時(shí)，令f''（x）=0，則x=ln2a>0，∴當(dāng)x∈（0，2a）時(shí)，f''（x）<0，f'（x）單調(diào)遞減，∴f'（x）

作者簡(jiǎn)介：

劉興福（1985—），男，漢族，貴州畢節(jié)人，碩士，大學(xué)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育與教師教育。