高等數(shù)學(xué)中的哲學(xué)思想及其在獨(dú)立學(xué)院教學(xué)中的應(yīng)用

魏玲　段綿俊　吳志斌

[摘 要]高等數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著豐富而深奧的哲學(xué)思想，如有限與無限、量變與質(zhì)變、特殊與一般等。針對獨(dú)立學(xué)院的培養(yǎng)目標(biāo)和學(xué)生的特點(diǎn)，教學(xué)中除了從數(shù)學(xué)的角度講清楚基本的知識和方法，還需要從哲學(xué)的角度進(jìn)行適度的辯證與剖析，使學(xué)生深刻理解其實(shí)質(zhì)，把握其精髓，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)方法分析問題和解決問題的能力。

[關(guān)鍵詞]高等數(shù)學(xué) 哲學(xué)思想 獨(dú)立學(xué)院 教學(xué)

[中圖分類號] G255.75 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2015）09-0133-02

馬克思主義哲學(xué)是科學(xué)的世界觀和方法論的統(tǒng)一，是研究自然科學(xué)的理論基礎(chǔ)，它為人們的實(shí)踐活動提供了具有普遍意義的工作方法和思維方法。高等數(shù)學(xué)蘊(yùn)含著豐富而深奧的哲學(xué)思想，如：高等數(shù)學(xué)中的有限與無限之間的關(guān)系、量變與質(zhì)變的關(guān)系、特殊與一般的關(guān)系等。辯證唯物主義思想所認(rèn)為的事物之間對立統(tǒng)一的關(guān)系在高等數(shù)學(xué)的各個部分都有體現(xiàn)。

由于獨(dú)立學(xué)院的辦學(xué)宗旨是培養(yǎng)本科應(yīng)用型創(chuàng)新人才，且生源質(zhì)量不同于一本、二本，學(xué)生的學(xué)習(xí)情況總體表現(xiàn)較差，主要表現(xiàn)在學(xué)生知識的系統(tǒng)性較差，偏科的現(xiàn)象較嚴(yán)重，對部分科目，尤其是數(shù)學(xué)，有比較明顯的抵觸情緒。所以獨(dú)立學(xué)院高等數(shù)學(xué)這門課的教學(xué)必須根據(jù)學(xué)校的培養(yǎng)目標(biāo)和學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)能力進(jìn)行改革，建立“學(xué)術(shù)性、研究型”的精英教育模式，課堂教學(xué)應(yīng)以“適用、實(shí)用”為原則，明確學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)側(cè)重通識而非精深，專業(yè)素養(yǎng)側(cè)重適用而非前沿，課堂教學(xué)側(cè)重實(shí)用而非理論證明。對于高等數(shù)學(xué)這門課程的教學(xué)，如果我們能夠重視學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，將哲學(xué)思想融入教學(xué)中，不但能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率，而且能夠加強(qiáng)學(xué)生的辯證思維，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

一、教學(xué)中的有限與無限、量變與質(zhì)變的思想及應(yīng)用

從哲學(xué)上看，有限和無限是一對矛盾的統(tǒng)一體，二者既聯(lián)系又對立。無限是有限的發(fā)展，無限是由有限組成的。從量變與質(zhì)變的角度來看，有限的變化實(shí)際上是一個量變的過程，是質(zhì)變的必要準(zhǔn)備。當(dāng)變化無限發(fā)展，量變超出了度的范圍，于是就引起質(zhì)的變化，所以質(zhì)變是量變的必然結(jié)果。

高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的顯著區(qū)別在于引入了極限的概念。極限是一種研究變量變化趨勢的數(shù)學(xué)思想，它是變量無限地向有限目標(biāo)的逼近而產(chǎn)生量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化。極限的思想貫穿于高等數(shù)學(xué)的始終，說明有限與無限、量變與質(zhì)變的哲學(xué)思想也貫穿于高等數(shù)學(xué)的始終，所以數(shù)學(xué)的本質(zhì)其實(shí)就是哲學(xué)。

【例1】級數(shù)收斂的定義（有限與無限）。

我們知道，直接研究無窮多項的和是非常困難的，所以在上述定義中，我們先求出有限的前n項和，再通過讓n→∞求極限，最后得到無窮多項的和的情況。

根據(jù)有限與無限的對立統(tǒng)一關(guān)系，人們可以從有限認(rèn)識無限，從已知認(rèn)識未知。這些抽象的哲學(xué)辯證觀念，都可以從科學(xué)概念中提升，并用科學(xué)概念具體解釋，以達(dá)到洞察事物本質(zhì)的目的。

【例2】數(shù)列的極限（量變與質(zhì)變）。

高等數(shù)學(xué)中充滿了從量變到質(zhì)變，而后又從質(zhì)變引起新的量變的思想。質(zhì)量互變的思想對學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)具有很重要的現(xiàn)實(shí)意義。學(xué)生學(xué)習(xí)首先要有量的積累，才會有質(zhì)的飛躍。獨(dú)立學(xué)院學(xué)生的基礎(chǔ)相對薄弱，接受能力也比較慢，所以做練習(xí)在獨(dú)立學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中是一個相當(dāng)重要的環(huán)節(jié)。教師需要引導(dǎo)學(xué)生在不斷的練習(xí)中歸納總結(jié)，從而幫助學(xué)生改善學(xué)習(xí)效果。

二、教學(xué)中具體與抽象、特殊與一般的思想及其應(yīng)用

數(shù)學(xué)是一門認(rèn)識世界數(shù)量關(guān)系和組合形式及方法的科學(xué)。然而我們面對的世界是一個復(fù)雜的世界，具體性與抽象性、普遍性與特殊性、個性與共性同時存在。在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，我們不難發(fā)現(xiàn)，很多概念與原理的發(fā)展都是通過對特殊例子的詳細(xì)分析，形成一定的抽象，從而得出相關(guān)的數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算公式。

【例3】高階導(dǎo)數(shù)公式的推導(dǎo)（特殊到一般）。

在認(rèn)識世界的過程中，我們解決問題的常用方式一般是由淺入深、由易到難。獨(dú)立學(xué)院高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，教師應(yīng)該特別注意在課堂上引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會將抽象的概念具體化，將復(fù)雜的運(yùn)算公式簡單化，幫助學(xué)生掌握規(guī)律，使學(xué)生較為容易地理解所學(xué)的數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算公式，從而達(dá)到增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣的目的。

三、教學(xué)中對立統(tǒng)一的思想及其應(yīng)用

對立統(tǒng)一是矛盾的兩個根本屬性，人類社會的萬事萬物，無一不是以矛盾的統(tǒng)一體的形式存在。微積分定量地反映了事物的對立統(tǒng)一規(guī)律，如有限與無限、質(zhì)變與量變、直線與曲線、常量與變量、連續(xù)與間斷、平均與邊際、無窮小與無窮大、運(yùn)算與逆運(yùn)算等，這些規(guī)律都反映了事物的普遍聯(lián)系。

【例4】以直代曲。

在講授《函數(shù)的微分及其應(yīng)用》這部分內(nèi)容時，我們會得到一個近似關(guān)系式：f（x）≈f（x0）+f ′（x0）（x-x0），（x-x0充分小），式子的左邊是曲線，右邊是直線。

一條曲線從很小的局部來看是近似于直線的，而且越小的部分越是近似直線。曲與直是對立的，但微積分抓住了它們的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了二者的統(tǒng)一。這就是“無限細(xì)分，以直代曲”的思想。

【例5】微積分基本公式。

微積分里兩個最重要的、靈魂的概念——導(dǎo)數(shù)與積分體現(xiàn)的就是矛盾的對立統(tǒng)一。導(dǎo)數(shù)與積分是兩個對立的概念。導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是變化率，所以它是一個瞬間量；而積分的本質(zhì)是無限累加，故它是一個總量。而且從運(yùn)算上來看，兩者也是互逆的。但是這兩個概念卻經(jīng)微積分基本公式而產(chǎn)生了必然的聯(lián)系。微積分基本公式又叫做牛頓-萊布尼茲公式，是瞬間量與總量的對立統(tǒng)一。

求導(dǎo)和求積分是高等數(shù)學(xué)中兩個非常重要的運(yùn)算。從微積分基本公式的教學(xué)過程中來看，求導(dǎo)是求積分的基礎(chǔ)，我們正是利用導(dǎo)數(shù)和積分互為逆運(yùn)算的關(guān)系，利用兩者的對立統(tǒng)一關(guān)系來解決定積分的計算問題。所以，教師在講授微分學(xué)部分的知識時，要特別注意向?qū)W生強(qiáng)調(diào)求導(dǎo)公式的重要性，要求學(xué)生熟練、記憶公式，從而為積分學(xué)部分的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

四、教學(xué)中因果關(guān)系的思想及其應(yīng)用

原因和結(jié)果是揭示客觀世界中普遍聯(lián)系著的事物具有先后相繼、彼此制約的一對范疇。原因是指引一定現(xiàn)象的現(xiàn)象，結(jié)果是指由原因的作用而引起的現(xiàn)象。高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)過程中，很多題目都需要教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題的因果，由果溯因，由因及果，從而找到解決問題的辦法。

【例6】“微分方程”部分的一道典型例題：

第一步：由果溯因。很多學(xué)生看到這樣的題目會束手無策，因?yàn)轭}目中有個“死循環(huán)”：我們必須求出右端的積分才能得到？漬（x）的表達(dá)式，而積分式的被積函數(shù)中又包含未知函數(shù)？漬（u）。所以想通過求積分式得到？漬（x）的表達(dá)式顯然是行不通的。這是結(jié)果。我們要引導(dǎo)學(xué)生分析導(dǎo)致這個結(jié)果的原因是什么。學(xué)生很快就會發(fā)現(xiàn)，是因?yàn)橛叶朔e分式根本求不出來。那么我們就要避免求積分，或者說，要去掉積分號。

第二步：由因及果。找到問題的原因之后，我們接下來要尋求問題的結(jié)果。求導(dǎo)和求積分是互逆的，所以我們可以通過求導(dǎo)的方法去掉右端的積分號，注意到？漬（x）的連續(xù)性保證了右端積分式的可導(dǎo)性，從而也就保證了？漬（x）的可導(dǎo)性。兩端同時對x求導(dǎo)：？漬′（x）=ex-x？漬（x），并且令題目中的x=0，可得？漬（0）=1。到這一步，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)，這其實(shí)就是大家非常熟悉的帶初值的一階線性微分方程，直接求解就可以了。從整道題的分析過程來看，哲學(xué)中因果關(guān)系的思想給了我們很大的幫助。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來哲學(xué)思想也可以用來解決數(shù)學(xué)問題，我們的課堂就會變得生動有趣。

總之，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是哲學(xué)。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)充分展現(xiàn)和運(yùn)用這些哲學(xué)思想，使之成為一種培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效方法。

[責(zé)任編輯：鐘偉芳]