例談極限思想在小學數學教學中的滲透

高純標

（安徽省阜陽市潁東區老廟鎮老廟小學）

極限思想是近代數學中一種重要的思想，主要是用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想。即用聯系變動的觀點，把所考查的對象看作是某個對象在無限變化過程中變化結果的思想。它體現了“從有限中找到無限，從暫時中找到永久，并且使之確定起來”的一種運動辯證思想。數學分析就是以極限概念為基礎、極限理論為主要工具來研究函數的一門學科。極限的思想方法貫穿于數學分析課程的始終。可以說，數學分析中幾乎所有的概念都離不開極限。

在《義務教育數學課程標準（2011年版）》課程目標中的“總目標”明確指出：“通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。”從“雙基”到“四基”的變化上可以看出，課程標準重視在數學教學中滲透數學的基本思想，重視數學思想對學生思維發展的作用。

縱觀小學教材，極限思想蘊含在小學數學諸多知識領域中。如何在小學生的頭腦中播下極限思想的“種子”，讓其“生根”“發芽”，為以后成長為枝繁葉茂數學分析的“參天大樹”打下堅實的基礎呢？本文將立足于小學數學這一特定的教育階段，針對“極限思想”在小學數學教學中幾個特例進行初步探索，為教師的教學設計提供參考。

學生在學習了循環小數后的數學活動課上，我出示了這樣一道題。

下面有兩組數，請大家比較大小：

師：你們說的似乎都有一定的道理，我們比較兩數的大小還可以采用作差的方法。（師順勢板書）

討論交流：①減數0.99…的小數點后面有多少個9？②你認為差的小數點后面的0有多少個？③差的最后一位會出現1嗎？

生1：減數0.99…的末尾有無數多個9，差的小數點后面有無數多個0，差的最后一位可能不會出現1。

生2：差的最后一位一定不會出現1，因為一直減下去，有無限多個0，永遠也不會出現0。

生3：我感覺0.99…無限接近1。

師：是呀，無限接近1，最后等于1了，你們信嗎？

（生有的點頭贊成，有的臉上充滿迷茫。）

而 3÷3=1

通過上面的教學，改變了學生總以為在那遙遠的地方一定還有一個9的思維定式吧。其實，既然是無限，哪有末尾。正如“時間無所謂始終”“宇宙無邊無際”一樣。學生在思考解決問題的過程中，初步體會了“無限逼近”的含義，基本上知道0.99…無限接近1，最后就真的等于1的本質。

二、“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”真的取不完嗎

在北師大版義務教育教科書五年級《數學》（下）中有以下兩個數學情境：

●讀一讀，想一想，剩下的部分占這張紙條的幾分之幾？

我國古代著名哲學著作《莊子·天下》中有這樣一段話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”意思是說：一尺長的木棍，每天截一半，永遠也截不完。

“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”截到最后真的截不完嗎？

第一個情境是用圖形直觀地幫助學生理解分數單位乘分數單位的意義，即單位量與單位數都是分數單位，表示一個分數單位的幾分之一，分數單位與分數單位的積仍然是一個分數。第二個情境主要向學生滲透極限思想。怎樣幫助學生感悟出木棒所剩部分的長度會趨向于0，體會到初步的極限思想，而且受到一定的傳統文化的熏陶呢？

師：同學們，你們還記得在第三單元中學的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的含義嗎？

生：它的含義就是說“一尺長的木棍，每天截去它的一半，千秋萬代也截不完”。

師：你能說一說把這根木棍截1次、2次、3次還剩這根木棍的幾分之幾嗎？

師：你能直接說出截4次，8次，100次還剩這根木棍的幾分之幾嗎？

生：截4次，剩的木棍的分母應該是4個2相乘，分子應該是1……

師：如果把這根木棍截n次，還剩這根木棍的幾分之幾嗎？

生：還剩木棍的分母應該是n個2相乘，分子應該是1。

師：你能說出把這個木棍截（n＋1）次，截無數次還剩這根木棍的幾分之幾嗎？

生 1：截（n＋1）次還剩木棍的分母應該是（n＋1）個 2相乘，分子是1。

生2：截無數次，還剩的木棍的分母應該是無數個2相乘，分子是1。

生3：我認為剩的很少很少，幾乎沒有了。

生4：還剩的木棍的分母很大很大，分子是1，應該離0很近很近。

師：是啊，當截得次數無限多時，分母就越來越大，分子是1，剩的就無限逼近0。

三、真的能“化圓為方”嗎

極限思想不但在“數與代數”方面有所滲透，而且在“圖形與幾何”也有涉及，如，北師大六年級數學（上）圓的面積公式的推導過程就滲透了極限的數形結合思想。在這節課上，我利用幾何畫板軟件，幫助學生直觀理解把圓分的份數越多，拼成的圖形越接近長方形，下面我把在本課教學中的一個片段摘錄如下：

師：誰能說一下平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式是怎樣推導出的？

生：轉化成學過的圖形。

師：怎樣計算一個圓的面積呢？能不能把圓轉化成我們學過的圖形來計算呢？（學生獨立思考、動手剪拼、小組討論、匯報交流）

生1：我把一個圓平均分成4份，并剪成2個半圓，重新拼組，可以得到一個不規則的圖形。

生2：我把一個圓平均分成8份，并剪成2個半圓，重新拼組，有點像平行四邊形，不過底邊是彎彎曲曲的線。

生3：把一個圓平均分成16份，剪成2個半圓重新拼組，有點像長方形。

師：老師也把圓平均分成32份、64份，并剪成2個半圓，重新拼組成，會得到什么樣圖形呢？（課件演示）

生1：近似的長方形。

生2：平均分成64份拼成的圖形比平均分成32份拼成的圖形更接近長方形。

師：請大家想象一下：如果老師繼續平均分成128份、256份時，圓平均分的份數越多，每份就越小，拼組成的圖形會怎樣變化？

生：越來越接近長方形。

師：如果無限分下去，拼組成的圖形會怎樣？

生1：很像很像長方形。

生2：分成無限多份，長就變成直的了，就是一個長方形。

這個過程中從“分的份數越來越多”到“這樣一直分下去”的過程就是“無限”的過程，“曲的真的變成直的了，圓形真的變成了長方形”就是收斂的結果。學生經歷了從無限到極限的過程，感悟了極限思想的具大價值。

其實，在小學數學教學中，能夠挖掘滲透極限思想的地方還很多，譬如：在學完小數的基本性質之后，讓學生寫出和0.5相等的小數；在教學“自然數”“奇數”“偶數”這些概念教學時讓學生體會自然數是數不完的，奇數、偶數的個數有無限多個；在直線、射線、平行線的教學時，可讓學生體會直線的兩端是可以無限延長的；兩條平行線無論延長多長，永遠不會相交等。教師在設計教學方案，進行課堂教學時，要在學生感知有限的基礎上，幫助學生構建知識表象，結合想象讓學生體驗無限。在感受無限的過程中，飛躍到感知極限，從而感悟極限思想。

總之，極限思想是人類思想文化寶庫中的瑰寶，是對數學知識的本質反映，是學習和研究更高深的數學理論的基礎。我們小學數學教師在教學中應善于挖掘教材中極限思想的素材，抓住時機，將這一思想播種在學生的頭腦中，為其澆水、施肥。那么，在不久的將來，極限思想這株小苗一定會成長為數學森林中的一棵參天大樹。

[1]白淑珍.對極限思想的辯證理解[M].中國校外教育，2008（2）.

[2]鄭毓信.數學文化學[M].四川教育出版社，2004.

[3]孔企平.現代數學思想方法[M].貴州人民出版社，1994.