帶年齡結構傳染病模型的穩定性研究＊

王鴻章， 梁聰剛， 王軍民

（1.平頂山學院 數學與信息科學學學院，河南 平頂山467000；2.河南財經政法大學 數學與信息科學系，河南 鄭州450002）

多數作者討論不同的年齡結構的流行病模型時，都是假設感染率函數和染病人群成正比［1～7］.本文主要討論的是感染率函數和染病人群與潛伏期人群占總人口的比率成正比的傳染病模型，應用偏微分－積分方程的理論，證明了該模型解的穩定性.

1 一類時間疾病模型（P）

為了討論方便，給出以下符號說明：A表示活到的最高年齡，t表示時刻，r表示年齡，s表示病期；m1（r，t）、λ（r，t）、μ1（r，t）、N1（r，t）、p1（r，t）＝則分別表示健康人口的出生率、發病率、死亡率、人口總數、年齡密度；m2（r，t）、η（r，s，t）、μ2（r，s，t）、p2（r，s，t）＝則表示染病人口的出生率、發病率、死亡率、病期密度.

2 模型解的穩定性

將（4）的兩邊對s從0到r積分，得：p2（r，0）＝p2，0（r）.于是我們討論的系統P變為系統 Q：

這里p2（r，t）表示疾病人口的年齡密度函數，定義μ（r，t），m（r，t）滿足：

這里p（r，t）表示整個人口的年齡密度函數.將系統（Q）的前兩個方程相加，得系統（R）：

由m1（r，t）和m2（r，t）的假設可知存在β（r，t），使得：

則如下的系統R′：

的解p′（r，t）是唯一存在的，在β（r，t）小于臨界生育率時，p′（r，t）有界.

比較系統（R）和（R′），用比較定理知：p（r，t）＜p′（r，t）.所以系統（R）的解也是有界的.我們將系統（Q）分為兩個子系統（Q1）和（Q2）.（Q1）如下：

因此（Q1）變為其解為：

現在來討論系統Q的另一子系統（Q2）：

其解為：

將p1（r，t）與p2（r，t）兩式相減得：

此處：

令ψ（y，r，t）＝0，則

ψ＝0等價于：

或

定義1 定義臨界得病率函數（接觸率函數）λc為：

則表達式（9）成立，當且僅當λ＝λc或η＾＝η＾c成立.

我們討論如下幾種情形：

1）令0＜λ（r，t）≤λc（r，t），且

易知此時必有：當t→＋∞時，λ（r，t）→0，于是：

因此，有：

定理2 假設（14）成立，則必有（15）成立，即子系統（Q2）是……