高中“數與代數”領域的核心內容群：函數
——基于核心內容群內涵、特征及其數學本質的解析

朱立明，韓繼偉

（1.東北師范大學教育學部，吉林 長春 130024；2.東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春 130024）

高中數學內容作為數學內容的下位概念，一方面應該具備數學內容的共同屬性，另一方面又具有反映自身的特殊性。基于“核心”和高中數學內容兩方面因素，我們提出高中數學核心內容群的概念，這里面涵括的不僅僅是知識點，還綜合數學知識結構和思想方法的內容體系。所謂高中數學核心內容群即在高中數學內容體系中，能夠聯結不同模塊或專題之間的數學內容并為其提供持續性支持且具有奠基作用的數學知識結構和數學思想方法。

一、高中數學核心內容群的特征

（一）高中數學核心內容群的基礎性特征

高中數學核心內容群的基礎性特征主要是取決于數學的抽象性特點。由于“數學本身幾乎完全周旋于抽象概念和它們相互關系的圈子之中”[1]，所以從某種程度上講，數學的抽象性在加強數學深度的同時也增添了學生學習數學的難度，因此數學內容在滿足循序漸進特點的同時，必然有一部分內容是基礎的，為后續學習起到奠基作用。高中數學核心內容群作為數學本源內容，不僅體現在對數學知識的發展或數學領域重大變革具有一定的促進作用，也體現在為高中數學的初學者在不同時期的數學學習奠定基礎，因此彰顯了高中數學核心內容群的基礎性特征。

（二）高中數學核心內容群的聯結性特征

高中數學核心內容群的聯結性特征是由核心的范圍層面決定的。由于數學本身經過漫長的歷史發展，現代數學已經是一個分支眾多的知識系統，孤立的數學內容是不存在的，高中數學內容作為整個數學知識系統的縮影，眾多數學模塊或者專題按照一定的學科邏輯順序和學生認知結構順序進行有效組織，高中數學核心內容群以本源內容的形式，或者以數學內容主線的形式，與高中其他數學內容具有知識結構上的橫向聯系，貫穿整個高中數學學習過程，具有聯結性特征。

（三）高中數學核心內容群的持續性特征

高中數學核心內容群的持續性特征主要體現在高中數學不同模塊或者專題所對應的相關數學內容采用螺旋上升的組織形式，漸次加強所學概念和觀念的深度和復雜程度，使高中數學核心內容群與學生內部心理發展過程融合起來，為不同時期對其他高中數學內容的學習提供動態支持，這種支持不僅包括數學概念、定理和公式等人們在長期數學活動中形成的間接經驗，還包括學習者通過自身的觀察、操作、比較、分析、歸納、概括等活動而獲得的直接經驗。無論是在數學知識的生成過程，還是數學的最終結果的獲得，高中數學核心內容群自始至終體現著持續性特征。

（四）高中數學核心內容群的思想性特征

數學思想來源于數學知識本身，又高于數學知識本身，是對數學知識的本質認識，數學思想與數學知識是共生的個體，不可分割。沒有脫離數學知識的數學思想，也沒有不蘊含數學思想的數學知識，在此基礎上，史寧中教授從數學學科發展的角度，將數學思想概括為抽象、推理、模型。而在高中數學中所涉及的數學思想更加具體化、多元化，主要包括：函數思想、方程思想、分類討論思想、數形結合思想、化歸思想、符號化思想、算法思想、幾何思想、隨機思想等，所以高中數學核心內容群具有思想性特征。

二、高中“數與代數”領域核心內容群——函數：數學本質解析

（一）從數學發展的視角看函數的變遷

1.函數與變量

在17世紀，函數概念未明確提出之前一直被當作曲線研究，因此函數概念最早源于人們對動點軌跡的探索，1673年，萊布尼茲（Leibniz）在手稿中最早使用函數（function）一詞來表示任何一個隨著曲線上的點的變動而變動的量，1714年，萊布尼茲在著作《歷史》中用函數一詞來表示依賴于一個變量的量[2]。1718年，約翰·伯努利（John Bernoulli）將函數定義為由一個變量x與常量構成的任意表達式[3]。1748年，歐拉（L.Euler）在《無窮小分析引論》中推廣了約翰·伯努利的函數定義，認為一個變量的函數是由該變量和一些數或常量以任何一種方式構成的解析表達式[4]；1755年，歐拉在他的《微分學原理》的序言中又將函數重新定義為，如果某些量以這樣的方式依賴于另一些量，即當后面這些量變化時，前面這些變量也隨之變化，則將前面的變量稱為后面變量的函數[5]；歐拉用“解析表達式”代替了約翰·伯努利的“任意表達式”，增強了函數概念的嚴密性，同時指明了哪個變量是哪個變量的函數。隨著函數概念的大量采用，微積分開始走上了形式化與代數化的道路。

2.函數與對應

1823年，柯西（Cauchy）對函數的解析表達式做了較少地限制，而著重從變量的對應關系來定義函數，即若對x的每一個值，都有完全確定的y值與之對應，x與y的函數關系的解析式表示方式并不唯一，則稱y是x的函數，并將x稱為自變量。[6]我們知道，函數能否用解析式表示出來的意義并不大，狄利克萊函數的出現更是對函數解析式提出巨大挑戰，因此，1837年，狄利克萊（Dirichlet）將這一限制去掉，認為函數在整個區間上y是否按照一種或多種規律依賴于x，或者y依賴于x是否可用數學運算來表達，那都是無關緊要的。[7]19世紀70年代，康托（Cantor）建立集合論后，維布倫（O.Veblen）用集合與對應給出近代函數的定義，若在變量y的集合與另一變量x的集合之間，有這樣的關系成立，即對x的每一個值，有完全確定的y值與之對應，則稱變量y是變量x的函數。這是函數在廣泛意義上的定義，與高中數學函數的概念本質一樣。[8]

3.函數與關系

雖然狄利克萊等人通過對應定義函數擺脫了解析式的制約，但并沒有對什么是對應做出嚴格的說明，因此在高中數學函數定義中也沒有說明到底什么是對應法則。數學具有嚴謹性，所以，在1939年，布爾巴基（Nicolas Bourbaki）學派將函數概念建立在關系基礎之上，重新給出函數定義[9]：設集合X、Y，定義X與Y的積集X×Y如下：X×Y={(x，y)|x∈X，y∈Y}。積集X×Y中的任一子集R稱為X與Y的一個關系，若(x，y)∈R，則稱x與y有關系R，記為xRy,若(x，y)不屬于R，則稱x與y無關系R?，F設f是x與y的關系，即f包含于X×Y，如果(x，y)、(x，z)∈f，必有y=z，那么稱f為X到Y的映射或函數。

從函數發展來看，函數概念的歷史映射了整個數學的發展史，成為推動數學發展的動力，體現了函數在數學學科發展中的基礎性作用。

（二）從高中數學課程標準的視角看函數的地位

20世紀初，在英國數學家貝利（J.Perry）和德國數學家克萊因（Klein）等人的大力倡導和推動下，函數進入了中學數學?？巳R因認為：“函數概念，應該成為數學教育的靈魂。以函數概念為中心，將全部數學教材集中在它周圍，進行充分地綜合?！焙瘮底鳛楦咧袛祵W的主線之一，貫穿于整個高中數學課程，如圖1所示。

響應新課改的理念，加大對實訓模擬室的資金投入，建立符合國家標準的會計實訓模擬室。首先，各類設施配置要齊全，要不斷改善實訓室的教學環境，確保在企業財務部門能進行的會計操作在實訓模擬室中也同樣能操作。其次，擴大實訓模擬室的空間，使每一位學生都能進行實際動手操作。

1.函數符合基礎性特征

函數能夠成為高中數學的基礎是因為變數的概念，字母表示數的出現，是人們思維方式更新的標志，意味著代數學的開始，從理論上講，代數是字母的算術，代數思維的本質就是關系思維，其目的是發現具有一般化的關系、普遍化的結構。[10]正如恩格斯在《自然辯證法》一書中所說：“數學中的轉折點是笛卡爾的變數，有了變數，運動進入了數學，辯證法進入了數學，有了變數，微分和積分也就立刻成為必要了。”函數是一種變數思維，而變數對數學而言是一種重要的思想與轉折，為整個高中數學“數與代數”領域的學習做了鋪墊，是初學者在高中數學不同時期的數學學習的基礎。

2.函數符合聯結性特征

函數的聯結性特征主要體現在函數與方程、不等式、算法、微積分等高中數學課程內容的橫向聯系上。從歷史發展來看，函數屬于代數領域，方程屬于算術領域，函數中的字母是變量，可以取得不同數值，方程中的字母是常量，是未知但確定的數值，因此變量是函數的基礎，未知數是方程的基礎。從形式上來看，在函數y=f（x）中，當y=0時，即可轉化為方程f（x）=0，但兩者在本質上是不同的，函數的本質是描述一件事情的變化規律，而方程的本質是兩件事情的等價性。從特殊取值來看，函數的零點便是函數對應方程的根。在高中階段，通過數形結合，利用二次函數的圖像進行一元二次不等式求解，使問題清晰簡潔。反過來，當我們對函數定義域、函數單調區間等求解時，便轉化為求不等式（一元二次不等式、分式不等式、指數不等式、對數不等式）的解集；算法中循環變量依賴變量的取值決定循環體的“開始”與“結束”，是刻畫循環結構的關鍵，體現著函數的思想；高中階段的微積分重點體現在導數與牛頓—萊布尼茲公式的應用，函數是對運動變化的動態描述，而導數是對事物變化快慢的描述，因此，我們說函數并不是孤立存在于高中數學中的，函數與其他內容所形成的網狀聯系體現了核心內容群的聯結性特征。

3.函數符合持續性特征

函數的持續性特征主要體現在整個高中數學模塊1、模塊4、模塊5、專題2中反復感悟、螺旋上升學習函數的縱向聯系。從高中數學課程內容的組織來看，函數作為高中數學課程的一條主線，貫穿整個高中數學課程。高中數學中的函數概念以集合作為基礎，因此必修1的第一章是集合論的相關知識，從第二章開始接觸函數，其中包含了函數的基本性質（單調性、奇偶性）、基本初等函數Ⅰ（指數函數、對數函數、冪函數）、分段函數、函數的零點；必修4中基本初等函數Ⅱ（三角函數）、函數的基本性質（周期性）；必修5中特殊的離散型函數（數列），選修系列2中隨機變量的本質也是函數，是樣本空間到實數域上的特殊函數。因此我們可以從教材螺旋上升的編排順序看出來，函數在高中數學中是持續的、貫穿始終的，函數體現了核心內容群的持續性特征。

圖1 高中數學函數內容網絡圖

4.函數符合思想性特征

函數思想是高中階段最基礎最重要的數學思想之一，集中體現為一種對應的思想，函數思想的本質是利用動態的變化和集合的對應研究問題中的數量關系。除此之外，函數中還蘊含著其他數學思想，例如：函數表示方法中的解析法與圖像法是“數”的精確與“形”的直觀完美結合，解析法能夠清晰地表示函數的對應關系，圖像法可以直觀地表達函數的變化趨勢，體現著數形結合思想；在我們研究指數函數f（x）=ax的單調性時，往往需要注意底數a的取值范圍，當a＞1時，f（x）=ax在定義域內單調遞增，當0＜a＜1時，f（x）=ax在定義域內單調遞減，這里蘊含著分類討論的思想，分類討論思想的本質在于分類標準的選擇，而這里分類的標準就是a＞1與0＜a＜1；我們利用正弦函數y=sinx研究余弦函數y=cosx的性質，這是類比思想；我們在講函數與方程、函數與不等式時，體現著化歸思想?？梢?，在函數中不乏數學思想，函數體現了核心內容群的思想性特征。

（三）從綜合與實踐的視角看函數模型的應用

從F.克萊因呼吁重視數學的應用價值，到弗萊登塔爾推動現實數學教育，我國也逐漸意識到運用數學知識解決簡單的現實問題能力的重要性，而對于高中函數在實際中的應用則集中體現在數學建模上，其中蘊含了函數模型的數學思想。在高中階段，所謂函數模型，是指用函數知識對生活中普遍存在的簡單的最值問題（利潤最高、成本最低、效益最好、用料最?。┻M行歸納加工，建立適切的目標函數，從而從函數的角度解決實際問題。函數模型的構造有助于學生對函數本身的理解，加強學生發現問題、分析問題、解決問題的能力。[11]

利用數學知識解決現實問題，這與課程標準中數學聯系生活是一致的，數學建模是數學學習的一種新的方式，有利于激發學生學習數學的興趣，增強學生的應用意識，提高其實踐能力，課程標準指出：“數學建模是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程”。（函數模型解決真實問題具體過程如圖2所示）

圖2 函數模型解決真實問題圖示

三、結束語

我們從數學學科發展、高中課程標準、綜合與實踐三個視角可以看出，函數作為高中數學的一條主線，具有強大的生命力，我國高中數學教材非常注重函數的地位與作用，建立了以函數為核心的輻射狀知識結構，這一知識結構使函數具有基礎性、持續性、聯結性、思想性的特征，成為學生認識數學、感悟數學、應用數學的一個核心內容群?！?/p>

[1]亞歷山大洛夫A D，等.數學它的內容、方法和意義[M].孫小禮，趙孟養，裘光明，等，譯.北京：科學出版社，1986：6.

[2]克萊因M.古今數學思想：第3冊[M].上海：上?？茖W技術出版社，1979：122-126.

[3]邵光華.作為教育任務的數學思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2014：163.

[4]歐拉.無窮分析引論(上）（下)[M].太原：山西教育出版社，1997：1-6.

[5]Dieter Ruthing.函數概念的一些定義——從John Bernoulli到N.Bourbaki[J].數學譯林，1986（3）.

[6]杜石然.函數概念的歷史發展[J].數學通報,1961（6）：36-39.

[7]吉特爾曼A.數學史[M].北京：科學普及出版社，1987：265.

[8]王嶸，章建躍，宋莉莉，周丹.高中數學核心概念教材編寫的國際比較——以函數為例[J].課程·教材·教法，2013（6）：51-56.

[9]賈隨軍.函數概念的演變及其對高中函數教學的啟示[J].課程·教材·教法，2008（7）：49-72.

[10]徐文彬，楊玉東.“本原性問題”及其在數學課堂教學中的應用[J].數學教育學報，2005（8）：14-16.

[11]張立紅，代欽.高中函數模型及其應用的教學策略[J].內蒙古師范大學學報：教育科學版，2011（12）：116-118.