基于學生發展的課堂教學研究：知識·思維·思想
——以《用字母表示數》為例

陶紅強

（溧陽市文化小學，江蘇 溧陽 213300）

我們都知道，教學和教育的根本目的是為了促進學生的發展，也可以說促進學生的發展是我們一切教育教學的根本出發點。要把這個目標落實到位，離不開知識的學習、思維的發展和思想的形成。筆者結合《用字母表示數》這一課，從知識、思維和思想三個層面來簡要談談如何促進學生的發展。其實，關于《用字母表示數》這一課，筆者本人也經歷了知識、思維和思想三次磨課，從中做了一些思考，接下來和大家一起分享。

一、在知識的學習中促進學生的發展

無論是思維的培養、還是思想的形成，都離不開知識的學習。因為，思維和思想都是學生在知識的學習過程中培養和發展起來的，知識學習是一個載體。所以，我們的教學要重視知識的學習。那么《用字母表示數》這一課一個非常重要的知識目標就是讓學生感受到用字母表示數的必要性，并讓學生體會用字母表示數的抽象概括過程。這個知識目標其實包含了概念教學的一個基本問題：為什么要引進這個概念，這個概念有什么作用，具體到《用字母表示數》這一課來講就是用字母表示數的必要性。那么用字母表示數的必要性是什么呢？要解決這個問題，我們就不得不談到代數思維。《用字母表示數》是學生從算術思維到代數思維的一個重要轉變。而代數思維的核心是一般化思想，也就是說代數思維所表達的是一種普遍的、抽象的、概括的思想。所以，用字母表示數的必要性就是字母的概括作用。進一步說，字母的概括作用包括兩方面：一是字母單獨出現，所起的概括作用；二是含有字母的式子所起的概括作用。其中，理解字母單獨出現所起的概括作用是理解含有字母式子概括作用的前提和基礎，也就是說，只有充分理解單獨字母的概括作用才能更好地理解含有字母式子的概括作用。基于以上思考，筆者設計了這樣一個問題：“你想擺幾個這樣的三角形？擺得完嗎？能不能用一個式子把我們剛才寫的和沒寫的全部概括出來？”這樣一來學生便能深刻體會到字母和含有字母的式子能概括出所有的情況。接下來，在比較“a×3”與“4×3”兩個式子的意義區別時，先引導學生思考“a×3”中的字母a可以表示哪些數，從而體會到字母a的概括性，并以此為基礎讓學生進一步深刻體會到“a×3”所表達的普遍性、概括性。其實，這兩個式子也是算術與代數的區別。

以上是筆者對字母的概括性的一些思考，那么如何讓學生經歷用字母表示數的抽象概括過程。為了更好地說明這一問題，我們首先來比較一下，書上例題與所教的例題的區別。書上關于例題的處理如下：從具體擺1個三角形到4個三角形后，直接問如果是擺a個三角形，小棒根數是（）×（），而提問的是“能不能想個辦法概括出已寫的和沒寫的式子”，進而基于學生答案a×3中的a表示什么，讓學生思考a×3表示什么。這樣處理，筆者個人覺得能更加讓學生經歷并體驗到用字母表示數的一個抽象概括過程。而書中直接說如果用a表示三角形個數，小棒根數怎么列式，這樣學生自己沒有經歷三角形個數的概括過程，進而也沒有經歷小棒根數的概括過程。這里的字母只是三角形的一個替代物而已，它代表的是三角形這個具體的物體而已。事實上這樣的字母仍屬于算術思維，而不是代數思維，因為代數思維下的字母意義表示的是一個變量。而學生只有真正經歷了字母表示數的概括過程，他才能真正理解字母作為一個變量的意義。

二、在思維的培養中促進學生的發展

教學的最終目的不是為了學習知識，而是為了培養能獨立思考的人。所以，發展學生的思維是我們教學的一個重要目的。那么，什么是思維呢？思維就是人腦對客觀事物的間接的、概括的反映，是人腦對客觀事物本質的、內在規律的反映。既然思維是對事物本質的一種反映，所以我們只有抓住本質，才能發展學生的思維。

1.抓住知識本質，促進學生思維發展

抓住本質，首先要抓住知識本質。《用字母表示數》這一課的知識本質是什么呢？就是有兩個相關聯的量，用一個字母表示其中一個量，用含有字母的式子表示另一個量，而數量關系就是這兩個量的紐帶。所以在教學中，我們應緊緊圍繞數量關系這一知識本質來展開教學，從多個角度引導學生理解這一本質性的含義。本著這一思考，進行了第二次試教，即在思維的發展中促進學生的發展。與第一次試教相比，主要有這么幾個變化。第一個變化就是在用含有字母的式子表示小棒根數之前，先總結了一下“怎么求小棒根數”，從而得出數量關系“三角形個數×3”。為什么要進行這一變化呢？首先，代數概念具有二重性：過程性和對象性。所謂過程性就是從運算的角度來看，它反映的往往是一種操作程序；所謂對象性就是把它作為一種結果來看。在第一次試教時，當問到“a×3”表示什么時，學生大都能回答表示小棒的根數。這就是將“a×3”作為一種結果來理解，體現的是概念的對象性。而當問到“a×3”還可以告訴我們哪些信息時，學生卻回答不出“a×3”還可以反映出“小棒根數是三角形個數的3倍”，也就是說學生對式子“a×3”的過程性理解比較困難。講到這里又引發另一個問題：既然學生不理解小棒根數與三角形個數的倍數關系，怎么能概括出式子“a×3”的？通過分析，我們不難發現學生是根據1×3、2×3、3×3、4×3，這些具體式子類推的，而不是根據數量關系來寫的。這種思維水平是比較低層次的，也不利于學生對代數概念的全面理解。為此，為了引導學生從類推到運用數量關系來寫含有字母的式子，特意做了以上變化。但問題是，雖然是這么考慮的，學生是不是如我所愿，這里仍是個未知數。因為雖然添加了“三角形個數×3”這一數量關系，但學生仍可選擇用類推的方式寫。為此就引發第二個變化：在年齡問題中，增加“如果老師的年齡用y來表示，同學的年齡怎么表示”這一環節。如果說以前所有的環節學生都可以選擇用類推的方式來寫的話，那么這里學生只能根據“同學年齡比老師年齡小20歲”這一數量關系來寫。所以，這個環節既是對之前學習的一種檢驗、鞏固，也是一次新的學習。

2.抓住學習實質，促進學生思維發展

以上是從知識的本質來說明如何發展學生的思維。但知識終究是客體，是獨立于學習主體之外的。所以，我們有必要從學習的實質來說說如何促進學生思維的發展。學習的實質就是學生在教師的指導下，能動地建立自己的認知結構，并促進自己的全面發展。而要幫學生建立完善的認知結構，就必須給學生呈現一個完整的知識結構，具體到概念教學來說，就是給學生呈現一個系統的概念框架。為此，在第一次試教的基礎上，做了如下變化：

在撲克牌活動之后，引導學生回憶已學的運算律和平面圖形的面積公式。

[案例]體會用字母表示數

（一）體會用字母表示確定的數

手舉撲克牌（A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K），問：老師手里拿的是什么？在這里撲克牌中的A表示幾？J、Q、K呢？

小結：在這里撲克牌中的字母表示確定的數，那么字母能不能表示不確定的數呢？

（二）體會用字母表示不確定的數

師：想想看，以前我們在哪用過字母表示不確定的數？

（板書提示：a+b=b+a）

看到這個，你想到什么？這里a可以表示哪些數？（生：自然數，小數和分數）b呢？能再舉幾個例子，寫出其他運算律嗎？

通過這樣調整，就容易幫學生形成一個完整的整體性框架，只有將知識學習置于框架中，才能形成良好的認知結構。這樣處理能形成怎樣一個框架性結構呢？首先字母可以表示確定的數，也可以表示不確定的數；字母可以表示自然數，也可以表示小數和分數；字母可以單獨出現，也可以出現在式子里；字母可以出現在乘法式子里，也可以出現在加法式子里；學生進一步遷移可悟出，如果需要字母還可以出現在減法式子里或除法式子里，甚至可以出現在加減乘除的綜合算式里。給學生呈現這樣一個完整性的框架結構，有利于學生通過整體和聯系的視角去學習各個部分的知識，能更好地溝通各個部分知識之間的內在聯系，從而形成良好的認知結構。

同樣，在經歷了擺三角形和算年齡活動后，添加表格（如表1），目的是在學習各部分知識之后，對各部分知識進行系統整理，建立起各部分知識之間的聯系。與前面的環節構成“整體—部分—整體”的結構框架，幫助學生理清“字母可以單獨出現表示數量，也可以出現在式子里表示一個新的數量，還可以表示數量關系”這一脈絡。建立了完整的知識結構，為學生形成良好的認知結構創造條件。

三、在思想的體悟中促進學生的發展

日本教育家米山國藏說：“學生在學校接受的數學知識，因畢業進入社會后幾乎沒有什么機會應用這種作為知識的教學，所以通常是在出校門后不到一兩年，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數學精神、思想、方法卻能隨時隨地發揮作用，使他們終生受益。”［1］可見，基于學生發展的教學應是基于思想的教學，而要達到這一點，我們必須以思想方法的分析帶動具體內容的學習。《用字母表示數》蘊含了符號思想、函數思想和建模思想。

表1

（一）符號思想

所謂符號思想，就是用數學符號來表達實際問題，符號思想的建立重點在于理解數學符號的內涵。對《用字母表示數》來說，關鍵是理解字母在具體情境中的意義。主要表現在兩個方面：一是同一問題情境中，相同字母表示相同的意義；二是在不同情境中，相同字母表示不同意義。為此，在教學中，出示表1后，通過兩個問題“三角形個數中的a與小棒根數a×3中的a表示的意義是否一樣”，“三角形個數中的a與同學年齡中的a意義是否一樣”，讓學生深刻體會到字母在具體情境中的意義。

（二）函數思想

函數思想的本質是變量間的對應關系和依存關系。具體說就是一個自變量，一個因變量，及自變量與因變量之間的某種對應法則。而《用字母表示數》的本質就是兩個相關聯的量，用字母表示其中一個量（自變量），用含有字母的式子表示另一個量（因變量），數量關系就是兩個變量之間的紐帶。基于這個思想，教學中采取以下活動：在表1中，問到a表示三角形個數時，小棒根數a×3中的a能不能用b×3表示，讓學生體會到小棒的根數是隨著三角形個數的變化而變化的，它們之間是有聯系的，是不能用b×3表示的。另外，在發散練習即解釋a×5的意義時，學生通過舉例會發現并體會到“a×5”的意義與a的意義是緊密相關的，這些都是函數思想的滲透。

（三）建模思想

數學建模就是課堂內外情境的轉換，目的是用數學知識解決實際問題。這個轉換包括兩個過程：現實情境向數學模型的轉換（數學化和符號化的過程）；數學模型向現實情境的轉換（數學模型的應用）。《用字母表示數》這一課中的三角形活動、年齡問題，都是從具體情景逐步抽象到數學模型，屬于建模思想的第一個過程。但數學建模的本質意義在于運用模型解決實際問題，所以第二個過程是非常重要的，這也是由對象到過程的一個展開。解釋a×5的意義就是對象到過程的一個展開，也就是對模型a×5的現實意義的一個解釋。▲

[1]米山國藏.數學的精神、思想和方法[M].毛正中，吳素華，譯.成都：四川教育出版社，1986.