一類帶有擴散和擾動的n－patch 捕食食餌模型正平衡點的穩定性分析

王 彥，高 揚，趙 微，白旭亞，許 潔

(1.大慶師范學院 教師教育學院，黑龍江 大慶163712;2.吉林化工學院 理學院，吉林132000)

0 引言

網絡化思想近年得到廣泛研究與應用.例如，多智主體系統可以看作為復雜網絡系統［1－3］;神經網絡系統也是一種復雜網絡系統［4－6］。

網絡的數學描述是一個由頂點和有向弧連結而成的有向圖.在每個頂點，局部動力學性質由頂點系統構成的微分方程給出.有向弧暗示了頂點系統間的相互連結和相互作用。

近來，Shuai Zhisheng 等人在參考文獻［7］中研究基于網絡考慮微分方程的耦合系統的正平衡點的全局穩定問題。他們使用圖論理論，得到了基于網絡的大量耦合系統的全局穩定Lyapunov 定理。文獻［7］的創新之處在于作者把圖論和網絡方法應用于n－patch 捕食食餌模型正平衡點的穩定性分析中。Shuai Zhisheng 等人研究了如下n－patch 捕食食餌模型:

這里xi，yi表示捕食者和食餌在第i 個patch 上的密度。模型參數bi，δi是非負常數，參數ei，εi是正常數。常數表示食餌從斑塊j 到斑塊i 的擴散率。常數依據不同的邊界條件選出。此模型的特點是要求捕食者含有擴散，而食餌之間沒有擴散。

本文研究具有n－patch(n 個斑塊)的捕食食餌系統正平衡點的穩定性問題。我們推廣模型(1)為如下模型:

這里xi，yi表示捕食者和食餌在第i 個patch 上的密度。模型參數bi，δi是非負未知常數，滿足:bi=b0i+設參數ei，εi是正常數。常數表示食餌從斑塊j 到斑塊i 的擴散率。常數依據不同的邊界條件選出。

1 主要結論

本節考慮食餌含有擴散項的n－patch 捕食食餌模型(2)。我們把系統(2)看成一個基于網絡的耦合系統.使用參考文獻［7］的方法，建立系統(2)的正平衡點全局漸近穩定的Lyapunov 定理。

如下定理成立:

定理1 若如下條件成立:

(2)存在正整數k，使得b0k＞0，δ0k＞0 且

則當正平衡點E*存在時，則其唯一且在Rn+上全局漸近穩定。

證明:容易看出唯一性可以由全局漸近穩定得到，故我們證明的重心放在正平衡點全局漸近穩定上，令

容易得到

對第i 個子系統定義Lyapunov 函數為

且

對Lyapunov 函數沿系統(2)求導得到

這里

經計算后得

令cyi表示矩陣(bij)n×n的第i 個對角元素.由矩陣(bij)n×n的不可約性質有cyi＞0 。

進一步取系統的Lyapunov 函數為

則有

注意矩陣(bij)n×n的不可約性質和參考文獻［7］的定理3.1，可以得到

由定理的條件2 有

因此

若頂點i 和l 有邊連接，則有bil＞0，進一步有

由于1－ a+lna ≤0，且1－ a+lna=0?a=1，可以得到

即yi=y*i。

由(bij)n×n的不可約性質，得到圖(G，B)是強連接的，即任意i 和k 有邊連接.因此有yi=y*i。

2 結 語

本文研究帶有擴散和擾動的n 個斑塊下捕食食餌模型正平衡點的穩定性問題.該問題是捕食食餌模型的研究重要內容.基于微分方程耦合系統的網絡化思想，得到了一類具有n－patch 的捕食食餌模型正平衡點的全局漸近穩定性定理.所得定理是參考文獻［7］的定理6.1 的推廣。

從生物學上看，我們的結果表明在一定條件下(擴散矩陣不可約和參數條件)n－patch 捕食食餌系統的捕食者和食餌的數量最終穩定在一個正值。

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