低頻時變時滯懸架系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋魯棒H∞多目標控制

陳長征，王剛，于慎波

(1.沈陽工業(yè)大學機械工程學院，沈陽110870;2.遼寧省振動噪聲控制技術工程研究中心，沈陽110870)

低頻時變時滯懸架系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋魯棒H∞多目標控制

陳長征1，2，王剛1，于慎波1

(1.沈陽工業(yè)大學機械工程學院，沈陽110870;2.遼寧省振動噪聲控制技術工程研究中心，沈陽110870)

在實際的懸架系統(tǒng)主動控制當中，由于控制器存在時變時滯因素，而低頻輸入時滯對系統(tǒng)的穩(wěn)定性及性能有很大影響。針對該問題，綜合考慮系統(tǒng)的參數(shù)不確定性及執(zhí)行器的時變時滯因素，使車身加速度在路面干擾下的H∞范數(shù)在全頻域內達到最小，同時保證控制力的非線性飽和，行駛平順性，接地性等時域硬約束條件，設計了基于動態(tài)輸出反饋的魯棒H∞控制器，并提出一種描述質量不確定性的匹配模型。采用Lyapunov－Krasovskii泛函法，通過引入松弛矩陣給出滿足條件的凸組合不等式，減少了設計的保守性，應用LMI技術推導出H∞控制準則。最后，通過數(shù)值實例驗證了該方法對于參數(shù)攝動下的低頻時變時滯懸架系統(tǒng)控制性能的有效性。

低頻時變時滯;主動懸架;H∞控制;動態(tài)輸出反饋;線性矩陣不等式

隨著汽車工業(yè)的發(fā)展，最大限度的提高汽車舒適性及平順性逐漸成為汽車行業(yè)追求的目標［1］。近年來，由于一種考慮時域約束的H∞控制策略的提出，很多學者將該方法應用于汽車懸架的多目標控制當中［2－5］。一般來講，在設計懸架的控制策略時，除了要保證舒適性外，還必須同時考慮懸架動行程，接地性，輸出力飽和等時域約束條件。文獻［6－7］分別針對基于軸距預瞄的半車懸架及輪轂電機驅動的汽車懸架，提出了相關的H∞控制策略，并通過數(shù)值實例驗證了該方法的有效性。考慮到4～8 Hz頻段內的車身加速度與舒適性密切相關，因此高會軍等［8－9］將有限頻域的H∞控制策略應用到懸架系統(tǒng)的多目標控制當中，使懸架的舒適性在低頻處有所提高。受經濟性及合理性的制約，全狀態(tài)反饋控制在實際應用中難以實現(xiàn)。相對而言，通過有限的傳感器來實現(xiàn)懸架的多目標控制更具實用價值。除了設計狀態(tài)觀測器外，還可通過輸出反饋的方式來設計懸架的主動控制策略。

由于在實際的工程應用當中，控制回路不可避免的存在時滯因素，且輸入時滯對系統(tǒng)的性能及穩(wěn)定性有很大的影響，因此時滯因素引起了很多學者的關注。在設計考慮時滯的控制策略時，除了時滯補償?shù)确椒ㄍ猓€有一種在設計控制器時就將時滯因素考慮在內的魯棒控制。文獻［10－12］分別針對時不變及時變輸入時滯，提出了時滯相關的H∞控制準則，并將其應用于懸架的多目標控制當中，但均通過全狀態(tài)反饋的方式。文獻［13］針對一類含時變輸入時滯的懸架系統(tǒng)，通過基本不等式的方法，設計了基于動態(tài)輸出反饋的H∞控制器，并驗證了該方法的可行性。

基于上述分析，本文考慮了一類含參數(shù)不確定性及時變輸入時滯的主動懸架系統(tǒng)，設計了基于動態(tài)輸出反饋的魯棒H∞控制器，并將其應用于懸架的多目標控制當中。且在控制器設計過程中，直接采用引進松弛矩陣的方法，減少了設計的保守性。最后通過一個數(shù)值實例驗證了該方法的可行性及有效性。

符號標記:矩陣上標T代表其轉置，2P=P+PT，星號*表示矩陣的對稱項，矩陣P?0(?0)表示其為正定(負定)矩陣，l2［0，∞)表示平方可積的矢量函數(shù)空間，?n表示n維的歐幾里得空間，{·}i表示相應矩陣的第i行，diag{…}表示對角矩陣。

1 問題描述

考慮如下形式的時變時滯線性系統(tǒng):

式中:x(t)∈?n為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，u(t)為系統(tǒng)的控制輸入，ω(t)為外界干擾。其中d(t)為時變連續(xù)函數(shù)并且滿足:0≤d(t)≤，(t)≤μ。這里假定參數(shù)不確定項［ΔA，ΔB］=EΣ(t)［F1，F(xiàn)2］，且Σ(t)TΣ(t)≤I，?t?0，x0(t)為系統(tǒng)的初始狀態(tài)變量，z1(t)為系統(tǒng)的被控輸出，z2(t)為系統(tǒng)的約束輸出，y(t)為系統(tǒng)的可測狀態(tài)量，當［ΔA，ΔB］=0時，式(1)為該系統(tǒng)的名義模型。

假設式(1)的全階動態(tài)輸出反饋控制器形式如下:

式中:Ac、Acd、Bc、Cc為待求的控制器增益矩陣;(td(t))為該動態(tài)反饋控制器的狀態(tài)時滯項。結合式(1)、式(2)可得閉環(huán)增廣系統(tǒng):

本文的目標可歸結為設計一個形式如式(2)的全階動態(tài)輸出反饋控制器，使得:①閉環(huán)系統(tǒng)式(3)在無干擾下漸近穩(wěn)定;②在零初始條件下，滿足H∞性能，即

2 時滯界限相關H∞魯棒控制結果

為了滿足上述的性能指標，首先給出基于動態(tài)輸出反饋的魯棒H∞控制結果，其定理如下。

定理1:對于給定的標量d?0，μ，ε?0，r?0，j=1，2，若形如式(2)所示的動態(tài)輸出反饋控制器存在，使得①閉環(huán)系統(tǒng)式(3)在無干擾下漸近穩(wěn)定，②且對于所有的d?，?μ，‖ωmax‖=r/γ2滿足式(4)，式(5)所示的性能指標，當且存在適當維數(shù)的控制矩陣Ac、Acd、Bc、Cc、N、M及對稱正定矩陣P、S、Q、R，使得下列矩陣不等式成立:

當只考慮式(1)的名義模型時，即［ΔA，ΔB］=0時，有Φ=θ11+θ13IθT13+θ14R－1θT14。從式(13)可知，由于R?0，故不等式右邊后2項總小于零。由文獻［14－15］可知，若不等式滿足:

可保證式(13)小于零。這里式(14)為一組凸組合形式，根據(jù)文獻［16－17］可知，與其等價的非保守條件為:

由于定理1中包含雙線性項，為了便于求解，這里將定理1中的矩陣不等式轉化為LMIs的形式。將對稱正定矩陣P、P－1分解為如下形式:

由于推論1為考慮時變時滯下的輸出反饋魯棒H∞控制，若不考慮時滯，則該問題為一般情況下的約束H∞控制問題。若僅考慮時不變時滯，則相關控制方法可參照文獻［10－11］。

3 時變時滯懸架系統(tǒng)

考慮如圖1所示的時變時滯主動懸架模型，其中ms、mu分別代表名義簧上簧下質量，ks，cs分別為懸架的剛度與阻尼，ku為輪胎剛度，u為主動控制力，xs，xu為簧載與非簧載質量的垂直位移，q為路面不平度激勵。

圖1 1/4車懸架模型Fig.1 Quarter－vehicle suspension model

這里選取系統(tǒng)的狀態(tài)變量為:

考慮經濟性與實用性這里選取輸出變量為:

時域硬約束可表示為:

在式(26)中，第1項代表懸架動行程的最大限值，第2項代表衡量安全性及操縱性的輪胎動靜載荷比，第3項代表輸出力的約束飽和。則該模型的狀態(tài)空間方程及其被控輸出可由閉環(huán)系統(tǒng)式(1)表示。式中:

式中:xmax為懸架動行程約束限值，umax為執(zhí)行器最大飽和輸出力，(ms+mu)g為懸架靜載荷，ω(t)=·q。針對上述時變時滯懸架系統(tǒng)，可通過求解推論1求得控制器增益矩陣Ac、Acd、Bc、Cc。

為了較精確的反映汽車行駛過程中簧載質量的攝動情況，這里取E=[0σ0 0]T，F(xiàn)1=C1，F(xiàn)2=D1，則[ΔA，ΔB]=EΣ［F1，F(xiàn)2］為只與簧上質量有關的攝動項。這里假設簧載質量變動范圍為Ms=(0.8～1.2)ms，則可取σ=－0.25，當Σ(t)∈(－1～1)時，該匹配模型可以較精確的描述汽車在簧載范圍內的質量攝動情況，從而保證系統(tǒng)的魯棒性。

4 數(shù)值實例分析

為了驗證該方法的可行性，以圖1所示的懸架模型為例給出數(shù)值驗證，相應參數(shù)(見表1)。

表1 1/4車模型參數(shù)Tab.1 Quarter－car model parameters

為了便于說明設計的有效性及保守性，將本文的魯棒時滯H∞控制方法(控制器Ⅰ)與文獻［10］中基于積分不等式的時滯相關H∞控制方法(控制器Ⅱ)以及文獻［2］中不考慮時滯的H∞控制方法(控制器Ⅲ)進行對比。

4.1 頻域分析

這里假定控制系統(tǒng)的時滯上限為d=20 ms，并取簧載質量為名義質量，即Σ(t)=0，根據(jù)表1中的參數(shù)，求解推論1，可得最優(yōu)的控制器Ⅰ增益矩陣(見附錄)，應用相同參數(shù)求解文獻［10］中的定理1，可得相應的控制器Ⅱ增益矩陣。根據(jù)該控制器增益矩陣可得車身加速度的奇異值響應情況(如圖2，時滯d=20 ms)。從圖2可知，控制器Ⅰ能取得更小的能量增益值，在4～8 Hz范圍內尤為明顯，故該方法具有較小的保守性，在控制回路存在輸入時滯的情況能有效地提高舒適性。

為了驗證該方法的魯棒性，這里取Σ(t)=(－1， 0，1)，即對應實際簧載質量0.8ms，ms，1.2ms。根據(jù)控制器Ⅰ可得不同簧載質量下的車身加速度頻響曲線(見圖3)，從中可看出質量攝動并不影響懸架的舒適性，尤其在對舒適性影響較大的1～100 Hz范圍內。為了研究時滯上限為控制器保守性的影響，這里分別取=10 ms=20 ms，求解推論1可得相應的控制器矩陣。圖4為在不同時滯上限控制器下的車身加速度頻響情況，其中時滯均為上限。從圖4可知，隨著時滯上限的增加，系統(tǒng)的保守性增加，造成舒適性變差。由于在實際應用中，時滯通常為時變有界的，而該方法可保證時滯小于上界的情況下，滿足系統(tǒng)的性能指標。

圖2 車身加速度奇異值響應曲線Fig.2 Curves of MSVs of body acceleration

圖3 不同ms下的車身加速度響應情況Fig.3 Response of the body acceleration for different ms

圖4 不同下的車身加速度響應情況Fig.4 Response of the body acceleration for different

4.2 時域分析

為了驗證該方法對時域約束的響應情況，這里采用的路面輸入為短時的包塊沖擊激勵，其導數(shù)可用式(27)描述:

這里取a=0.1，f=1 Hz。為了研究時變時滯對系統(tǒng)穩(wěn)定性及性能的影響，這里亦求解文獻［2］中不考慮時滯的控制器Ⅲ(見附錄)，將其與本文中的方法進行比較。這里取時滯項為:d=(7sin?ωt+12)ms，其中時滯頻率?ω分別取為0.3 rad/s、2πrad/s，由于時滯項d不能超前，故d≥0。根據(jù)求出的控制器Ⅰ，控制器Ⅲ，可得圖5所示的不同時滯頻率下的懸架各控制輸出包塊響應情況(控制器Ⅰ(—)，控制器Ⅲ(…)，被動懸架(┄))。圖6為時滯分別取為d=10 ms、d=17 ms時的響應情況。從圖6可知，不考慮時滯的主動懸架系統(tǒng)對于低頻大時滯較為敏感，當時滯項超過一定值時，易出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，導致控制失效，且低頻時滯對主動懸架性能影響較大。而本文的設計方法顯然對于低頻時變時滯具有很好的穩(wěn)定性，舒適性不受影響，且懸架動行程比率，輪胎動靜載荷比及輸出力比率均故滿足時域的約束要求。從推論1中亦可知，在干擾能量小于上界時，可保證系統(tǒng)的約束性能得到保證。從文獻［2］中亦可知，舒適性與約束性能有一定的矛盾關系，可通過選取合適的r值來得到最佳的性能權衡。

圖5 不同時滯頻率下的包塊響應Fig.5 Bump responses for different?ω

圖6 不同時滯下的包塊響應Fig.6 Bump responses for differentd

5 結論

本文處理了一類含低頻時變輸入時滯的主動懸架魯棒H∞多目標控制綜合問題，通過動態(tài)輸出反饋的方式不僅提高了懸架的舒適性并能保證時域硬約束等條件，提出一種近似描述質量攝動的匹配模型，對于實際具有參數(shù)攝動的時變時滯懸架系統(tǒng)具有一定的魯棒性。基于Lyapunov－Krasovskii泛函法，通過選取自由權矩陣給出滿足條件的凸組合形式，減少了設計的保守性，并以LMI的形式推導出時滯界限相關的控制準則。最后通過一個數(shù)值實例研究了時滯懸架系統(tǒng)的性能特性，結果表明不考慮時滯的主動懸架系統(tǒng)對于存在的低頻大時滯較為敏感，甚至會導致控制性能失效，而該控制方法能保證懸架系統(tǒng)在頻域及時域的有效性。由于設計存在一定的保守性，使得懸架的綜合性能受到一定的影響，減少設計的保守性是以后應該考慮的問題，且本文是在全頻域內滿足懸架的H∞性能，如何在有限頻域內處理該類懸架系統(tǒng)，使懸架能夠在低頻處性能有所提高也是以后需要考慮的因素。

［1］孫維超.汽車懸架系統(tǒng)的主動振動控制［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學，2013.

［2］CHEN H，GUO K H.Constrained H∞control of active suspensions:an LMI approach［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2005，13(3):412－421.

［3］李榮，焦曉紅，楊超.基于動態(tài)輸出反饋的半車主動懸架系統(tǒng)魯棒控制［J］.振動與沖擊，2014，33(7):187－193.

LI Rong，JIAO Xiao－h(huán)ong，Yang Chao.Output feedbackbased robust control for a half－car hydraulic active suspension system［J］.Journal of Vibration and Shock，2014，33(7): 187－193.

［4］Li P，Lam J，Cheung K C.Multi－objective control for active vehicle suspension with wheelbase preview［J］.Journal of Sound and Vibration，2014，333(21):5269－5282.

［5］Guo L X，Zhang L P.Robust H∞control of active vehicle suspension under non－stationary running［J］.Journal of Sound and Vibration，2012，331(26):5824－5837.

［6］Li P，Lam J，Cheung K C.Velocity－dependent multiobjective control of vehicle suspension with preview measurements［J］.Mechatronics，2014，24(5):464－475.

［7］Wang R，Jing H，Yan F，et al.Optimization and finitefrequencyH∞control of active suspensions in in－wheel motor driven electric ground vehicles［J］.Journal of the Franklin Institute，2015，352(2):468－484.

［8］Sun W，Gao H，Kaynak O.Finite frequency control for vehicle active suspension systems［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2011，19(2):416－422.

［9］Sun W，Li J，Zhao Y，et al.Vibration control for active seat suspension systems via dynamic output feedback with limited frequency characteristic［J］.Mechatronics，2011，21(1): 250－260.

［10］Du H，Zhang N.H∞control of active vehicle suspensions with actuator time delay［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，301(1/2):236－252.

［11］Sun W，Zhao Y，Li J，et al.Active suspension control with frequency band constraints and actuator input delay［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2012，59(1): 530－537.

［12］Zhao Y，Sun W，Gao H.Robust control synthesis for seat suspension systems with actuator saturation and time－varying input delay［J］.Journal of Sound and Vibration，2010，329 (21):4335－4353.

［13］Li H，Jing X，Karimi H R.Output－feedback－based H∞control for vehicle suspension systemswith control delay［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2014，61(1): 436－446.

［14］He Y，Wang Q G，Lin C，et al.Delay－range－dependent stability for systemswith time－varying delay［J］.Automatica，2007，43(2):371－376.

［15］Jiang X，Han Q L.Delay－dependent robust stability for uncertain linear systems with interval time－varying delay［J］.Automatica，2006，42(6):1059－1065.

［16］Park PG，Ko JW.Stability and robust stability for systems with a time－varying delay［J］.Automatica，2007，43(10): 1855－1858.

［17］Wu M，He Y，She JH，et al.Delay－dependent criteria for robust stability of time－varying delay systems［J］.Automatica，2004，40(8):1435－1439.

附錄

Multi-objective control for suspension systemsw ith low frequency，time-varying，and time delay via an output feedback-based robust H∞controller

CHEN Chang－zheng1，2，WANGGang1，YU Shen－bo1
(1.School of Mechanical Engineering，Shenyang University of Technology，Shenyang 110870，China; 2.Liaoning Provincial Engineering Center for Vibration and Noise Control，Shenyang 110870，China)

In the actual active suspension systems，the controller has time－varying and time－delay.Low frequency，time－varying and time－delay have great influences on stability and performance of a system.Here，for this problem，considering parametric uncertainties of the system and time－varying，time－delay of actuators，the vehicle body acceleration was taken as the performance output，its H∞norm under the disturbance of road surface would reach minimum in frequency domain to improve the ride comfort.In addition，a norm－bounded model with parmetric uncertainties was introduced，the time－domain hard constraints for actuator saturation，suspension stroke，and road holdingwere guaranteed in the robust H∞dynamic output feedback controller design.Based on Lyapunov－Krasovskii functional approach，a convex combination ofmatrix inequalitywas derived by introducing some relaxationmatrices to reduce the conservatism of design，H∞control criteria were obtained adopting the technoque of linear matrix inequalities(LMIs).Finally，numerical exampleswere given to demonstrate the effectiveness of the proposed method for suspension systems with low frequency，time－varying and time－delay under parametric perturbation.

low frequency;time－varying and time－delay;active suspensions;H∞control;dynamic output feedback;linearmatrix inequality

TP271;O328

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.23.027

國家自然科學基金(51175350)

2015－01－08修改稿收到日期:2015－06－05

陳長征男，博士，教授，博士生導師，1964年生

王剛男，博士生，1990年生