隨機敏感度函數法在非自治非線性系統中的應用

郭空明，江俊

(1.西安電子科技大學機電工程學院，西安710071;2.西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安710049)

隨機敏感度函數法在非自治非線性系統中的應用

郭空明1，江俊2

(1.西安電子科技大學機電工程學院，西安710071;2.西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安710049)

研究非自治微分動力系統周期吸引子受弱高斯白噪聲擾動后的分布特性。基于頻閃映射將微分動力系統離散為映射，通過求解映射系統周期吸引子的隨機敏感度函數，構造置信橢圓來刻畫隨機吸引子的分布情況，從而避免了求解矩陣微分方程的邊值問題，只需求解矩陣代數方程即可。研究了Duffing方程隨機周期吸引子的分布情況，結果表明置信橢圓與Monte－Carlo模擬取得了很好的一致。最后對Duffing方程的噪聲誘導混沌現象進行了定性研究，證明了通過隨機敏感度函數可以揭示這類現象的機理。

隨機敏感度函數;頻閃映射;Duffing方程;噪聲誘導混沌

實際宏觀動力系統的建模往往是簡化的。當一些狀態，尤其是快變的狀態難以用確定性方程進行描述時，往往將這些狀態孤立于系統模型之外，基于其統計特性，將其視為對系統模型的隨機擾動。因此，針對實際動力系統建立的模型總是不可避免地受到隨機擾動(又稱噪聲)的影響。

由于隨機擾動帶來的擴散作用，動力系統的狀態最終會遍布整個相空間，因此，理論上隨機動力學問題是一個全局問題。受高斯白噪聲擾動的動力系統作為Markov過程，其概率密度演化滿足Fokker－Planck－Kolmogorov方程(對于微分動力系統)或Frobenius－Perron積分方程(對于離散映射系統)。

但即使對于簡單的動力系統這兩種方程都很難求出精確解。為了用數值或近似解析方法得到全局概率密度分布，國內外已進行了大量工作。例如，朱位秋等［1］建立了一類隨機振動系統的擬哈密頓理論框架，可以解決隨機分岔、首次穿越以及隨機最優控制等諸多問題。徐偉等［2］使用廣義胞映射、路徑積分、正交多項式展開等方法對非線性隨機動力系統進行了研究。對于隨機結構的振動，李杰等［3］提出了概率密度演化方法，等。

另一方面，對于受到弱高斯白噪聲擾動的系統，當系統的初始概率密度集中于吸引子附近時，概率密度在達到全局穩態分布之前，會在吸引子附近形成一個持續很長時間的準穩態分布。由于觀測時間往往是有限的，對于這類系統可以進行局部分析，認為系統的響應只是對原確定性系統吸引子的一種局部擾動，并將這種準穩態分布稱為隨機吸引子(見圖1)。

由于很多由噪聲誘導的復雜現象，如隨機分岔［4］、噪聲誘導同步［5］等都是因吸引子受擾而產生，因此，如何對各種吸引子在噪聲擾動下的局部擴散行為進行定量估計，是一個突出的問題。針對該類問題，Bashkirtseva和Ryashko［6］提出了隨機敏感度函數的概念，通過求解不動點或周期吸引子的隨機敏感度函數，可以得到隨機吸引子的協方差矩陣，還可以構造置信橢圓對系統響應范圍進行刻畫。與其它方法相比，這種方法簡單易用，計算量很小。目前這種方法在微分動力系統和映射系統中都得到了廣泛應用，并且可以解釋一些噪聲誘導的復雜現象［7］。

映射系統的隨機敏感度函數滿足矩陣代數方程，而微分動力系統隨機敏感度函數的求解是一個矩陣微分方程的邊值問題。Bashkirtseva等提出了兩種迭代的方法來求解微分動力系統的隨機敏感度函數。本文基于非自治系統的特點，利用頻閃映射的方法將微分動力系統離散為映射，通過求解該映射系統的隨機敏感度函數，估算系統在特定時刻的響應分布。這種方法避免了迭代求解矩陣微分方程邊值問題，只需求解矩陣代數方程即可。

圖1 隨機不動點吸引子Fig.1 Stochastic fix point attractor

1 映射系統的隨機敏感度函數

考慮如下的受擾映射系統:

式中:x為N維矢量，f為N維矢量函數，σ為N×M維噪聲輸入矩陣，ξn代表M維高斯噪聲矢量，滿足:

式中:E為數學期望，I為單位矩陣。

首先考慮不動點吸引子。假設式(1)存在一個指數穩定的不動點則該吸引子的隨機敏感度函數為一N×N維矩陣W，滿足如下的矩陣代數方程:

而隨機不動點吸引子對應的協方差矩陣為D W。隨機吸引子的分布情況為高斯分布，可以用置信橢圓來刻畫，置信橢圓的表達式為:

式中:χ2P為自由度為N的卡方分布在累積概率密度為P時，累積分布函數的反函數。P同時也為置信橢圓的置信度，表示隨機吸引子上的點落入置信橢圓的概率為P，一般取為一個接近于1的值。

采用壓縮映射的方法，可將周期k吸引子壓縮為周期1。不失一般性，在周期點1處進行壓縮，將式(5)連續應用k次，結合式(6)，可以得到壓縮映射中的不動點，也就是周期點1的隨機敏感度函數滿足的矩陣方程:

求解得到W1之后，由式(5)可進一步得到其它k－1個周期點的隨機敏感度函數。而每個周期點處的置信橢圓滿足方程:

2 非自治微分動力系統的隨機敏感度函數

考慮如下的非自治微分動力系統:

式中:f(x，t)為N維非定常矢量場。從時刻t0處出發，可以構造一系列時間間隔為Δt的頻閃截面:

這些截面將式(9)離散為映射:

式中:φt(x)為f(x，t)生成的流。

若令時間間隔Δt→0，則式(10)可寫成顯式:

為t0+kΔt時刻對應狀態下的Jacobi矩陣。

則周期為T的周期吸引子離散為映射系統式(11)的周期N吸引子(見圖2):

圖2 頻閃映射Fig.2 Stroboscopic map

下面考慮受高斯白噪聲擾動的系統:

利用頻閃截面離散方法以及歐拉－丸山積分法，可將式(13)的映射系統表達為:

表示時間間隔［t0+kΔt，t0+(k+1)Δt］中維納過程的增量，η服從高斯分布。

利用映射系統周期吸引子隨機敏感度函數的求解方法求解映射系統式(14)，便可求出隨機周期吸引子在各頻閃截面上的分布情況。

這里將Δt=T/N時間間隔內非線性的映射式(10)近似為線性映射式(11)，相當于將一個周期T內連續的周期軌道用N段直線逼近。雖然此時式(4)～式(7)中的各矩陣Fi以及矩陣B均為近似值，但當N足夠大，Δt→0時，誤差就忽略不計。

3 Duffing方程周期解的受擾特性研究

3.1 Duffing方程周期解的受擾分布

研究如下受隨機擾動的雙勢阱Duffing方程［9］:

傳統的方法是取周期與激勵周期2π相同的頻閃截面來觀察系統的全局特性。擾動強度ε=0時，系統存在一個周期三吸引子(三角形)，一個混沌鞍(見圖3)。

下面考慮小噪聲擾動的情況。取式(12)中的N= 300，由于吸引子的周期為6π，因此Δt=0.02π。計算出三個周期點的隨機敏感度函數W之后，取噪聲強度ε=0.03，置信概率P=99.99%，利用式(8)，可以分別畫出三個周期點的置信橢圓(見圖4)。為了驗證方法的有效性，利用歐拉－丸山積分法對方程(15)進行了Monte－Carlo模擬，從圖4可知，隨機吸引子的分布與置信橢圓有很好的一致性。

為了討論頻閃截面時間間隔Δt與計算結果的關系，在圖5中畫出N=50，150，100，200四種情況下，圖4最上方的置信橢圓。可以看出當N=100時，由于頻閃截面時間間隔太大，誤差還比較大，畫出的置信橢圓與其它三種N取值下的置信橢圓明顯不同，而當N= 200，300和400時，橢圓的形狀和大小就區別不大了。因此對于本例，N=300計算出的結果是可靠的。

圖3 Duffing方程的全局特性Fig.3 Global character of Duffing equation

圖4 ε=0.03時Duffing方程的隨機響應Fig.4 Stochastic response of Duffing equation whenε=0.03

圖5 N取不同值時的置信橢圓Fig.5 Confidence ellipses with different N

3.2 Duffing方程的噪聲誘導混沌

對于“噪聲誘導混沌”這一名詞的適用范圍目前學術界還未有一致性結論，但對于噪聲誘導下軌道訪問混沌鞍這種情形，由于響應中本來就包含混沌不變集，因此將這類現象稱為噪聲誘導混沌是沒有異議的。一些學者建議將其命名為“噪聲揭示混沌”［10］。

當噪聲進一步增大時，Duffing系統將出現噪聲誘導混沌現象。圖6給出了ε=0.05時系統的響應。可以看出此時的響應是由隨機周期三吸引子和混沌鞍組成，置信橢圓已無法精確給出狀態的分布。圖7給出了系統最大Lyapunov指數隨噪聲強度的變化，可以看出，隨著噪聲強度逐漸增大，系統最大Lyapunov指數也逐漸增大，這是因為隨噪聲強度的增大，軌道訪問混沌鞍愈發頻繁，混沌響應的比例逐漸增大。

為了揭示噪聲誘導混沌的機理，采用兩尺度的全局分析法［11］，將周期三吸引子(三角形)及其置信橢圓(噪聲強度ε=0.05，P=99.99%)與混沌鞍的穩定流形、不穩定流形同時畫出(見圖8)。可以看出，噪聲誘導下隨機吸引子與混沌鞍的穩定流形相碰撞，沿著穩定流形到達混沌鞍，再沿著混沌鞍的不穩定流形離開，這與Tél等［12］的結論一致。

圖6 ε=0.05時Duffing方程的隨機響應Fig.6 Stochastic response of Duffing equation whenε=0.05

圖7 最大Lyapunov指數隨噪聲強度的變化Fig.7 Change of largest Lyapunov exponentwith noise strength

圖8 置信橢圓與混沌鞍穩定流形的碰撞Fig.8 Collision of confidence ellipses with stablemanifold of chaotic saddle

4 結論

本文采用頻閃映射的方法，將連續時間系統轉換為映射并采用隨機敏感度函數的方法估算系統在頻閃截面上的響應分布。方法的有效性通過一類受加性高斯白噪聲擾動的受迫Duffing方程得到驗證。最后還使用隨機敏感度函數對Duffing方程的噪聲誘導混沌現象進行了機理研究。

隨機敏感度函數法雖然已經有了大量應用，但還有一些重要的工作需要進一步研究，例如如何量化該方法的適用噪聲范圍，以及置信橢圓的置信概率如何根據問題實際需要的可靠性加以確定等。

［1］朱位秋.非線性隨機動力學與控制:Hamilton理論體系框架［M］.北京:科學出版社，2003.

［2］徐偉.非線性隨機動力學的若干數值方法及應用［M］.北京:科學出版社，2013.

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LIU Zhang－jun，LI Jie.A seismatic reliability analysis of nonlinear structures based on probability density evolution method［J］.Journal of Vibration and Shock，2009，28(9):1－4.

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［7］Bashkirtseva I A，Ryashko L B.Constructive analysis ofnoise－induced transitions for coexisting periodic attractors of the Lorenz model［J］.Physical Review E，2009，79 (4):041106.

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Application of stochastic sensitivity function method in non-autonomous nonlinear systems

GUO Kong－ming1，JIANG Jun2
(1.School of Mechanic－Electronic Engineering，Xidian University，Xi'an 710071，China;
2.State Key Laboratory for Strength and Vibration，Xi'an Jiaotong University，Xi'an 710049，China)

Distribution characters of periodic attractors in non－autonomous differential dynamic systems disturbed by weak Gaussian white noise were studied.Based on stroboscopic mapping，differential dynamic systems were discretized into maps.Through solving stochastic sensitivity functions of periodic attractors in maps，confidence ellipses were constructed to describe the distributions of random attractors.In this way，solving boundary value problems of matrix differential equationswas avoided，and only matrix algebraic equations needed to be solved.Distributions of stochastic periodic attractors in Duffing equation were studied.The results showed that confidence ellipses achieve a good agreement with Monte－Carlo simulation.Finally，noise－induced chaos in Duffing equation were investigated qualitatively，it was shown that stochastic sensitivity functions can reveal themechanism of this kind of phenomena.

stochastic sensitivity function;stroboscopic map;duffing equation;noise－induced chaos

O313

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.23.021

國家自然科學基金重點項目(11332008);中央高校基本科研業務費專項資金項目(K5051304012)

2014－11－06修改稿收到日期:2014－12－30

郭空明男，博士，講師，1985年生郵箱:kmguo@xidian.edu.cn