文科數學中線性代數一章內容結構的改革與實踐

李瓊

【摘要】由于線性代數理論性很強，再加上課時少，因此造成學生難學，老師難教。筆者通過多年文科數學的教學，對文科數學中線性代數一章的教學方法、學習技巧進行了探討和總結，希望能與同行之間交流與合作，進一步提高文科數學的教學質量。

【關鍵詞】文科數學 線性代數 行列式 矩陣 線性方程組

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）02-0006-01

引言

為適應高校培養精文智理的應用型、復合型高級文科專門人才的需要，自1993年以來，全國90%的高校在文科學生中開設了數學課程。目前國內大學文科數學課程的主要講授內容為微積分、線性代數和慨率與數理統計三部分，這些內容作為面向文科專業學生的唯一一門大學數學課程來講，存在很多不足，文針對這些問題就線性代數一章的內容結構提出了幾點建議和改進措施。

1 線性代數在文科數學中的重要性及教學現狀

《線性代數》是我國高等教育教學中涉及學生面范圍最廣的基礎課之一，其重要性不僅在理工類、經濟類以及其它社會科學類專業的教學計劃及課程設置上得以體現，而且其課時量在文科類專業中有增長的傾向。

線性代數的主要研究對象為矩陣，所使用的最基本方法就是初等變換。初等變換是《線性代數》中最基本也是最重要的概念之一，它貫穿于《線性代數》這門課程的始終。在新近出版的不少文科類學生用數學教材中對該章教學內容及其結構也進行了必要的調整。但在教學中仍存在的如下的問題：第一，大學文科類數學教材基本上是理工科類教材的縮寫，內容龐雜、面面俱到但論述不詳細；第二，體系結構不盡合理，造成理論前后借用；第三，條理性不強，定理用途不明確。

鑒于上述情況，筆者在文科數學教學中對線性代數一章內容結構進行了調整，并且在03級英語、旅游管理專業2個班的《文科數學》課程教學中進行了嘗試。

2 線性代數一章內容結構的調整

線性代數學習的主要內容為行列式、矩陣、線性方程組。在這些知識中解線性方程組是一條主線，各類知識的引入都均可通過解線性方程組引入。下面介紹筆者在線性代數各個主要知識點的處理。

1）行列式部分內容的處理：首先說明三階行列式展開后的每一項都是取自不同行不同列上的三個元素的乘積，再說明其中三項取正號，三項取負號。其次對于行列式的性質，將其劃分成兩大不同的類別。教學中通過讓學生計算上、下三角行列式、兩行或列成比例的行列式的值，讓學生找出它們的特征，然后再總結出其特點：上三角形行列式主對角線下方元素全為零的行列式稱為上三角形行列式；下三角形行列式主對角線上方元素全為零的行列式稱為下三角形行列式；對角形行列式主對角線上方、下方的元素全為零的行列式稱為對角形行列式；然后再給出行列式的第一大類性質：（1）如果行列式中有一行（或列）的全部元素都是零，那么這個行列式的值為零；（2）如果行列式中兩行（或列）對應元素全部相同，那么行列式的值為零；（3）行列式中如果兩行（或列）對應元素成比例，那么行列式的值為零；（4）行列式中一行（或列）的每一個元素如果可以寫成兩數之和那么此行列式等于兩個行列式之和。

運用行列式的其他性質可以改變行列式的內部結構使其變成特殊的行列式以便于行列式的計算。

2）矩陣部分內容處理：矩陣的初等變換是這部分內容的難點，可由求逆矩陣引入。通過實例驗證矩陣的初等變換是一種運算的替代，即矩陣的行（列）變換的效果與在矩陣的左（右）邊乘以一個特殊矩陣的結果是相同的。從而引出矩陣的三種初等變換。

3）線性方程組部分的內容處理：先給出非齊次、齊次線性方程組的典型例題然后讓學生歸納解的判斷定理，提出問題：當非齊次線性方程組有無窮多組解時怎樣才能把這無窮多解求出來？ 通過實例線性方程組的增廣矩陣經過行的初等變換后已能判斷方程組有無窮多解，變換后的方程組中有用的方程個數比未知數個數少（n-r）個，要想求出方程組的解只要給（n-r）個未知數賦值就能求出其解來，從而引出自由未知量的概念。

向量內容教學難點是向量的線性關系。這部分知識是線性方程組解的知識遷移后重新定義的，因此它和線性方程組的解有對應關系。先把線性方程組寫成向量的代數和形式，則方程組有無解就是某個向量是否可由向量組線性表示；其次方程組只有零解、有非零解則與向量組線性無關、線性相關相對應。既然解線性方程組要用矩陣解決，那么討論向量組的一些相關性也可以用矩陣解決了。

線性方程組解的結構也是教學中的一個難點，對于方程組解的結構特征學生們是可以理解的，但在實際操作過程中學生對設向量不能理解。為此在教學中采用由特殊到一般的教學方法：即非齊次方程組的特殊情況就是齊次方程組。

3 結束語

筆者在近幾年的文科類數學的教學實踐中，通過對這部分內容的教學結構做如上調整，即解決了線性代數這一章內容多、學時少的矛盾，又使調整后的內容更加連貫，銜接更加合理。教學中老師重點要講怎樣理解知識點，特別對學生理解較困難的知識點要進行整合并用最通孰的語言講給學生聽，這樣的教學才能達到理想的效果。以上是我教學中部分知識的處理，供大家討論。

參考文獻：

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